발산 정리 연습문제 — CLP-4 · 4.2절 · 32번

CLP-4 · 4.2절 · 32번대학 수준우리말 번역

$D$ 를 원기둥 $x^2+y^2\le 1$ , $0\le z\le 5$ 라 하자. 벡터장 $\mathbf{F}=(x+xye^z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\tfrac{1}{2} y^2ze^z\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(3z-yze^z)\,\hat{\mathbf{k}}$ 이 $D$ 의 겉면 중 옆면을 통해 바깥쪽으로 나가는 선속을 계산하세요.

영어 원문 보기

Let $D$ be the cylinder $x^2+y^2\le 1$ , $0\le z\le 5$ . Calculate the flux of the vector field $\mathbf{F}=(x+xye^z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\tfrac{1}{2} y^2ze^z\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(3z-yze^z)\,\hat{\mathbf{k}}$ outward through the curved part of the surface of $D$ .

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$S_t$ , $S_b$ , $S_c$ 를 각각 $D$ 의 윗면, 밑면, 옆면이라 하자. 윗면에서는 $z=5$ 이고 $D$ 의 바깥쪽 법선 벡터는 $\hat{\mathbf{k}}$ 이므로 $\iint _{\mathcal{S}_t}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iint _{x^2+y^2\le 1}(15-5ye^5)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =15\iint _{x^2+y^2\le 1}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =15\pi$ $y$ 에 대한 적분이 0인 것은 $y$ 가 $y\rightarrow -y$ 에 대해 홀함수이기 때문이다. 밑면에서는 $z=0$ 이고 $D$ 의 바깥쪽 법선 벡터는 $-\hat{\mathbf{k}}$ 이므로 $\iint _{\mathcal{S}_b}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =-\iint _{x^2+y^2\le 1}(3\times 0-0\times ye^0)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =0$ 여기서도 $y$ 에 대한 적분이 0인 것은 $y$ 가 $y\rightarrow -y$ 에 대해 홀함수이기 때문이다. ${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial }{\partial x}(x+xye^z) +\tfrac{1}{2}\frac{\partial }{\partial y}\big( y^2ze^z\big) +\frac{\partial }{\partial z}(3z-yze^z) =(1+ye^z)+yze^z+(3-yze^z-ye^z) =4$ 이므로 발산 정리에 의해

$\begin{aligned} \iint _{\mathcal{S}_c}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iiint _D{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V -\iint _{\mathcal{S}_t}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S -\iint _{\mathcal{S}_b}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S\\ &=\iiint _D4\ \mathrm{d}V -15\pi-0 =4\times\pi 1^2\times 5-15\pi =5\pi \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Let $S_t$ , $S_b$ and $S_c$ denote the top, bottom and curved surfaces of $D$ respectively. On the top surface, $z=5$ and the outward normal to $D$ is $\hat{\mathbf{k}}$ , so that $\iint _{\mathcal{S}_t}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iint _{x^2+y^2\le 1}(15-5ye^5)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =15\iint _{x^2+y^2\le 1}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =15\pi$ The integral over $y$ was zero because $y$ is odd under $y\rightarrow -y$ . On the bottom surface, $z=0$ and the outward normal to $D$ is $-\hat{\mathbf{k}}$ , so that $\iint _{\mathcal{S}_b}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =-\iint _{x^2+y^2\le 1}(3\times 0-0\times ye^0)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =0$ Again, the integral over $y$ was zero because $y$ is odd under $y\rightarrow -y$ . As ${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial }{\partial x}(x+xye^z) +\tfrac{1}{2}\frac{\partial }{\partial y}\big( y^2ze^z\big) +\frac{\partial }{\partial z}(3z-yze^z) =(1+ye^z)+yze^z+(3-yze^z-ye^z) =4$ the divergence theorem gives

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.2절 · 33번우리말 번역

구 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 의 제1팔분공간 부분을 위쪽으로 통과하는 $\mathbf{F}=(y+xz)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(y+yz)\hat{\boldsymbol{\jmath}}-(2x+z^2)\hat{\mathbf{k}}$ 의 선속을 구하세요.

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$V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2+z^2\le a^2, x\ge 0, y\ge 0,\ z\ge 0\ \big\}$ 라 하자.

그러면 $\partial V$ 는 다음으로 이루어져 있다.

$x=0$ 인 면 $\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ y^2+z^2\le a^2, x=0, y\ge 0,\ z\ge 0\ \big\}$ (법선 벡터는 $\hat{\mathbf{n}}=-\hat{\boldsymbol{\imath}}$ ),
$y=0$ 인 면 $\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+z^2\le a^2, x\ge 0, y= 0,\ z\ge 0\ \big\}$ (법선 벡터는 $\hat{\mathbf{n}}=-\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ ),
$z=0$ 인 면 $\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le a^2, x\ge 0, y\ge 0,\ z= 0\ \big\}$ (법선 벡터는 $\hat{\mathbf{n}}=-\hat{\mathbf{k}}$ ),
그리고 구의 제1팔분공간 부분이다. 이를 $S$ 라 하자.

그러면

$\begin{aligned} &\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V=\iiint _V\big[z+1+z-2z\big]\,\mathrm{d}V =\iiint _V \,\mathrm{d}V=\frac{1}{8}\ \frac{4}{3}\pi a^3=\frac{1}{6}\pi a^3\\ &\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{z=0}{\rm face}}\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{z=0}{\rm face}}(2x+0^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =2\int_0^a dr\,r\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ r\cos\theta =2\int _0^a r^2\,dr =\frac{2a^3}{3}\\ &\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{y=0}{\rm face}}\mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\jmath}})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z =-\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{y=0}{\rm face}}(0+0z)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z =0\\ &\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{x=0}{\rm face}}\mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\imath}})\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z =\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{x=0}{\rm face}}-(y+0z)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z =-\int_0^a dr\,r\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ r\sin\theta =-\int _0^a r^2\,dr=-\frac{a^3}{3} \end{aligned}$

발산 정리에 의해

$\begin{aligned} \iint _{S}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V -\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{x=0}{\rm face}}\mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\imath}})\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z -\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{y=0}{\rm face}}\mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\jmath}})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z -\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{z=0}{\rm face}}\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ &=\left[\frac{\pi}{6}-\frac{1}{3}\right]a^3 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 발산 정리계산보통자동 분류