빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

그린 정리

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 4.3절 · 5번대학 수준우리말 번역

∫CF⋅dr\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} 의 값을 구하세요. 여기서 F=x2y2 ı^+2xy ȷ^\mathbf{F} = x^2y^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 2xy\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이고 CC 는 xyxy평면에서 한 꼭짓점이 원점에 있고 대각선 반대쪽 꼭짓점이 점 (3,3)(3, 3) 에 있는 정사각형의 경계이며, 방향은 반시계 방향입니다.

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Evaluate ∫CF⋅dr\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} where F=x2y2 ı^+2xy ȷ^\mathbf{F} = x^2y^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 2xy\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} and CC is the boundary of the square in the xyxy-plane having one vertex at the origin and diagonally opposite vertex at the point (3,3)(3, 3), oriented counterclockwise.

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풀이 1 (직접 계산): 다음은 CC 의 그림이다.

그림

정사각형은 네 개의 선분으로 이루어져 있다.

  • 아래쪽 선분은 r(x)=(x,0), 0≤x≤3\mathbf{r}(x)=(x,0),\ 0\le x\le 3 으로 매개화할 수 있다. 따라서 이 선분을 따라 한 선적분은

∫03F(r(x))⋅drdx dx=∫03(0,0)⋅(1,0) dx=0\int_0^3 \mathbf{F}(\mathbf{r}(x))\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}x}\ \mathrm{d}x =\int_0^3 (0, 0)\cdot(1, 0)\ \mathrm{d}x =0

  • 두 번째 선분은 r(y)=(3,y), 0≤y≤3\mathbf{r}(y)=(3,y),\ 0\le y\le 3 으로 매개화할 수 있다. 따라서 이 선분을 따라 한 선적분은

∫03F(r(y))⋅drdy dy=∫03(9y2,6y)⋅(0,1) dy=∫036y dy=27\int_0^3 \mathbf{F}(\mathbf{r}(y))\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}y}\ \mathrm{d}y =\int_0^3 (9y^2, 6y)\cdot(0, 1)\ \mathrm{d}y =\int_0^3 6y\ \mathrm{d}y =27

  • 세 번째 선분은 r(t)=(3−t,3), 0≤t≤3\mathbf{r}(t)=(3-t,3),\ 0\le t\le 3 으로 매개화할 수 있다. 따라서 이 선분을 따라 한 선적분은

∫03F(r(t))⋅drdt dt=∫03(9(3−t)2 , 6(3−t))⋅(−1 , 0) dt=−∫039(3−t)2 dt=−81\int_0^3 \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\ \mathrm{d}t =\int_0^3 \big(9(3-t)^2\,,\, 6(3-t)\big)\cdot(-1\,,\,0)\ \mathrm{d}t =-\int_0^3 9(3-t)^2\ \mathrm{d}t =-81

  • 마지막 선분은 r(t)=(0,3−t), 0≤t≤3\mathbf{r}(t)=(0,3-t),\ 0\le t\le 3 으로 매개화할 수 있다. 따라서 이 선분을 따라 한 선적분은

∫03F(r(t))⋅drdt dt=∫03(0,0)⋅(0,−1) dt=0\int_0^3 \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\ \mathrm{d}t =\int_0^3 (0, 0)\cdot(0, -1)\ \mathrm{d}t =0

전체 선적분은

∮CF⋅dr=0+27−81+0=−54\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0+27-81+0=-54

이다.

풀이 2 (그린 정리): 그린 정리를 적용한다.

∮Cx2y2 dx+2xy dy=∫03dx∫03dy [∂∂x(2xy)−∂∂y(x2y2)]=∫03dx∫03dy [2y−2x2y]=∫03dx [9−9x2]=27−9333=−54\begin{aligned} \oint_C x^2y^2\,\mathrm{d}x+2xy\,\mathrm{d}y &=\int_0^3\mathrm{d}x\int_0^3 \mathrm{d}y\ \left[\frac{\partial }{\partial x}(2xy)-\frac{\partial }{\partial y}(x^2y^2)\right]\\ &=\int_0^3\mathrm{d}x\int_0^3 \mathrm{d}y\ \big[2y-2x^2y\big]\\ &=\int_0^3\mathrm{d}x\ \big[9-9x^2\big]\\ &=27-9\frac{3^3}{3}=-54 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Solution 1 (direct evaluation): Here is a sketch of CC.

figure

The square consists of four line segments.

  • The bottom line segment may be parametrized r(x)=(x,0), 0≤x≤3\mathbf{r}(x)=(x,0),\ 0\le x\le 3. So the line integral along this segment is

∫03F(r(x))⋅drdx dx=∫03(0,0)⋅(1,0) dx=0\int_0^3 \mathbf{F}(\mathbf{r}(x))\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}x}\ \mathrm{d}x =\int_0^3 (0, 0)\cdot(1, 0)\ \mathrm{d}x =0

  • The second line segment may be parametrized r(y)=(3,y), 0≤y≤3\mathbf{r}(y)=(3,y),\ 0\le y\le 3. So the line integral along this segment is

∫03F(r(y))⋅drdy dy=∫03(9y2,6y)⋅(0,1) dy=∫036y dy=27\int_0^3 \mathbf{F}(\mathbf{r}(y))\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}y}\ \mathrm{d}y =\int_0^3 (9y^2, 6y)\cdot(0, 1)\ \mathrm{d}y =\int_0^3 6y\ \mathrm{d}y =27

  • The third line segment may be parametrized r(t)=(3−t,3), 0≤t≤3\mathbf{r}(t)=(3-t,3),\ 0\le t\le 3. So the line integral along this segment is

∫03F(r(t))⋅drdt dt=∫03(9(3−t)2 , 6(3−t))⋅(−1 , 0) dt=−∫039(3−t)2 dt=−81\int_0^3 \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\ \mathrm{d}t =\int_0^3 \big(9(3-t)^2\,,\, 6(3-t)\big)\cdot(-1\,,\,0)\ \mathrm{d}t =-\int_0^3 9(3-t)^2\ \mathrm{d}t =-81

  • The final line segment may be parametrized r(t)=(0,3−t), 0≤t≤3\mathbf{r}(t)=(0,3-t),\ 0\le t\le 3. So the line integral along this segment is

∫03F(r(t))⋅drdt dt=∫03(0,0)⋅(0,−1) dt=0\int_0^3 \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\ \mathrm{d}t =\int_0^3 (0, 0)\cdot(0, -1)\ \mathrm{d}t =0

The full line integral is

∮CF⋅dr=0+27−81+0=−54\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0+27-81+0=-54

Solution 2 (Green's theorem): We apply Green's Theorem.

∮Cx2y2 dx+2xy dy=∫03dx∫03dy [∂∂x(2xy)−∂∂y(x2y2)]=∫03dx∫03dy [2y−2x2y]=∫03dx [9−9x2]=27−9333=−54\begin{aligned} \oint_C x^2y^2\,\mathrm{d}x+2xy\,\mathrm{d}y &=\int_0^3\mathrm{d}x\int_0^3 \mathrm{d}y\ \left[\frac{\partial }{\partial x}(2xy)-\frac{\partial }{\partial y}(x^2y^2)\right]\\ &=\int_0^3\mathrm{d}x\int_0^3 \mathrm{d}y\ \big[2y-2x^2y\big]\\ &=\int_0^3\mathrm{d}x\ \big[9-9x^2\big]\\ &=27-9\frac{3^3}{3}=-54 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 6.4절 · 18번우리말 번역

내사이클로이드 r(t)=cos⁡3(t)i+sin⁡3(t)j\text{r}(t)={\cos }^{3}(t)\text{i}+{\sin }^{3}(t)\text{j} 로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하세요. 이 곡선은 t∈[0,2π]t\in [0,2\pi ] 로 매개화된다.

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다 풀었으면 정답 확인

A=3π8A=\frac{3\pi }{8}

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