그린 정리

$\mathbf{r}(s)=x(s)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y(s)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 를 $C$ 의 호의 길이에 의한 반시계 방향 매개변수 표현이라 하자. 그러면 $\hat{\mathbf{T}}(s) = \mathbf{r}'(s) = x'(s)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y'(s)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 는 $\mathbf{r}(s)$ 에서 $C$ 의 진행 방향 단위접선벡터이고 $\hat{\mathbf{n}}(s) = \mathbf{r}'(s)\times\hat{\mathbf{k}}=y'(s)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-x'(s)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이다. $\mathbf{r}'(s)\times\hat{\mathbf{k}}$ 가 정말로 $\hat{\mathbf{n}}(s)$ 임을 확인하기 위해, $y'(s)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-x'(s)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 가 다음을 만족함에 주목하자.

• $\mathbf{r}'(s)$ 와 길이가 같으며, 그 길이는 $1$ 이다($\mathbf{r}(s)$ 는 호의 길이에 의한 매개변수 표현임을 상기하자).
• $xy$ 평면 위에 있다.
• $\mathbf{r}'(s)$ 에 수직이다. ($\mathbf{r}'(s)\cdot\big[y'(s)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-x'(s)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big]=0$ 임을 확인하자.)
• 오른손 법칙을 이용하여 $\mathbf{r}'(s)\times\hat{\mathbf{k}}$ 가 $-\hat{\mathbf{n}}$ 이 아니라 $\hat{\mathbf{n}}$ 임을 확인한다.

따라서 그린 정리에 의해

$$\begin{aligned} \oint_C\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}s &=\oint_C\left[F_1\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s}-F_2\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s}\right]\,\mathrm{d}s =\oint_C\left[-F_2\,\mathrm{d}x+F_1\,\mathrm{d}y\right] =\iint _R\left[\frac{\partial }{\partial x}F_1-\frac{\partial }{\partial y}(-F_2)\right]\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ &=\iint _R{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$$