그린 정리 연습문제 — CLP-4 · 4.3절 · 6번

CLP-4 · 4.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 값을 구하세요. $\displaystyle \oint_C (x\sin y^2 -y^2)\,\mathrm{d}x+(x^2y\cos y^2+3x)\,\mathrm{d}y$ 여기서 $C$ 는 꼭짓점이 $(0,-2),\ (1,-1),\ (1,1)$ , $(0,2)$ 인 사다리꼴의 반시계 방향 경계이다.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle \oint_C (x\sin y^2 -y^2)\,\mathrm{d}x+(x^2y\cos y^2+3x)\,\mathrm{d}y$ where $C$ is the counterclockwise boundary of the trapezoid with vertices $(0,-2),\ (1,-1),\ (1,1)$ and $(0,2)$ .

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사다리꼴을 $T$ 라 하자.

그린 정리에 의해,

$\begin{aligned} &\oint_C (x\sin y^2 -y^2)\,\mathrm{d}x+(x^2y\cos y^2+3x)\,\mathrm{d}y \\ &=\iint _T\left\{\frac{\partial }{\partial x}(x^2y\cos y^2+3x) -\frac{\partial }{\partial y} (x\sin y^2 -y^2)\right\}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\ &=\iint _T\big(2xy\cos y^2+3-2xy\cos y^2+2y\big)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\ &=\iint _T\big(3+2y\big)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

적분 $\iint _T(2y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ 는 $y\rightarrow-y$ 일 때 $2y$ 의 부호가 바뀌는 반면 적분의 정의역은 $y\rightarrow -y$ 에서 변하지 않으므로 0이 된다. 적분 $\iint _T 3\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ 는 사다리꼴의 넓이의 $3$ 배이고, 사다리꼴의 넓이는 가로 길이(1)와 높이의 평균 $(\tfrac{1}{2}[2+4])=3$ 의 곱이다. 따라서

$\oint_C (x\sin y^2 -y^2)\,\mathrm{d}x+(x^2y\cos y^2+3x)\,\mathrm{d}y =3\times 1\times 3 = 9$

원본 교재 풀이(영어)

Call the trapezoid $T$ .

By Green's theorem,

The integral $\iint _T(2y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ vanishes because $2y$ changes sign under $y\rightarrow-y$ while the domain of integration is invariant under $y\rightarrow -y$ . The integral $\iint _T 3\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ is $3$ times the area of the trapezoid, which is its width (1) times the average of its heights $(\tfrac{1}{2}[2+4])=3$ . So

$\oint_C (x\sin y^2 -y^2)\,\mathrm{d}x+(x^2y\cos y^2+3x)\,\mathrm{d}y =3\times 1\times 3 = 9$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.3절 · 5번우리말 번역

$\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ 의 값을 구하세요. 여기서 $\mathbf{F} = x^2y^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 2xy\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이고 $C$ 는 $xy$ 평면에서 한 꼭짓점이 원점에 있고 대각선 반대쪽 꼭짓점이 점 $(3, 3)$ 에 있는 정사각형의 경계이며, 방향은 반시계 방향입니다.

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풀이 1 (직접 계산): 다음은 $C$ 의 그림이다.

정사각형은 네 개의 선분으로 이루어져 있다.

아래쪽 선분은 $\mathbf{r}(x)=(x,0),\ 0\le x\le 3$ 으로 매개화할 수 있다. 따라서 이 선분을 따라 한 선적분은

$\int_0^3 \mathbf{F}(\mathbf{r}(x))\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}x}\ \mathrm{d}x =\int_0^3 (0, 0)\cdot(1, 0)\ \mathrm{d}x =0$

두 번째 선분은 $\mathbf{r}(y)=(3,y),\ 0\le y\le 3$ 으로 매개화할 수 있다. 따라서 이 선분을 따라 한 선적분은

$\int_0^3 \mathbf{F}(\mathbf{r}(y))\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}y}\ \mathrm{d}y =\int_0^3 (9y^2, 6y)\cdot(0, 1)\ \mathrm{d}y =\int_0^3 6y\ \mathrm{d}y =27$

세 번째 선분은 $\mathbf{r}(t)=(3-t,3),\ 0\le t\le 3$ 으로 매개화할 수 있다. 따라서 이 선분을 따라 한 선적분은

$\int_0^3 \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\ \mathrm{d}t =\int_0^3 \big(9(3-t)^2\,,\, 6(3-t)\big)\cdot(-1\,,\,0)\ \mathrm{d}t =-\int_0^3 9(3-t)^2\ \mathrm{d}t =-81$

마지막 선분은 $\mathbf{r}(t)=(0,3-t),\ 0\le t\le 3$ 으로 매개화할 수 있다. 따라서 이 선분을 따라 한 선적분은

$\int_0^3 \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\ \mathrm{d}t =\int_0^3 (0, 0)\cdot(0, -1)\ \mathrm{d}t =0$

전체 선적분은

$\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0+27-81+0=-54$

이다.

풀이 2 (그린 정리): 그린 정리를 적용한다.

$\begin{aligned} \oint_C x^2y^2\,\mathrm{d}x+2xy\,\mathrm{d}y &=\int_0^3\mathrm{d}x\int_0^3 \mathrm{d}y\ \left[\frac{\partial }{\partial x}(2xy)-\frac{\partial }{\partial y}(x^2y^2)\right]\\ &=\int_0^3\mathrm{d}x\int_0^3 \mathrm{d}y\ \big[2y-2x^2y\big]\\ &=\int_0^3\mathrm{d}x\ \big[9-9x^2\big]\\ &=27-9\frac{3^3}{3}=-54 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 그린 정리계산보통자동 분류