그린 정리 연습문제 — CLP-4 · 4.3절 · 25번

CLP-4 · 4.3절 · 25번대학 수준우리말 번역

$xy$ 평면에서 매끄럽고 단순하며 닫힌, 반시계 방향으로 향하는 곡선 $C$ 를 하나 구하세요. 이 곡선은 선적분 $\oint_C(y^3-y)\,\mathrm{d}x-2x^3\,dy$ 의 값이 매끄럽고 단순하며 닫힌, 반시계 방향으로 향하는 모든 곡선 중에서 최대가 되도록 하는 곡선입니다.

영어 원문 보기

Find a smooth, simple, closed, counterclockwise oriented curve, $C$ , in the $xy$ -plane for the which the value of the line integral $\oint_C(y^3-y)\,\mathrm{d}x-2x^3\,dy$ is a maximum among all smooth, simple, closed, counterclockwise oriented curves.

정답·풀이 보기

그린 정리에 의해

$\oint_C(y^3-y)\,\mathrm{d}x-2x^3\,\mathrm{d}y =\iint _R\Big[\frac{\partial }{\partial x}(-2x^3) -\frac{\partial }{\partial y}(y^3-y)\Big]\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\iint _R\Big[1-6x^2-3y^2\Big]\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

이다. 여기서 $R$ 은 $xy$ 평면에서 경계가 $C$ 인 영역이다. 피적분함수 $1-6x^2-3y^2$ 은 타원 모양의 영역 $6x^2+3y^2\le 1$ 안에서는 양수이고 그 바깥에서는 음수임을 알 수 있다. 적분 $\iint _R\big[1-6x^2-3y^2\big]\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ 를 최대로 하려면, 피적분함수가 $1-6x^2-3y^2\ge 0$ 인 모든 점 $(x,y)$ 는 $R$ 에 포함하고, 피적분함수가 $1-6x^2-3y^2< 0$ 인 모든 점 $(x,y)$ 는 제외하도록 $R$ 을 잡아야 한다. 따라서

$R=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 6x^2+3y^2\le 1\ \big\}$

로 잡는다.

이에 대응하는 $C$ 는 $6x^2+3y^2= 1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

By Green's Theorem

where $R$ is the region in the $xy$ -plane whose boundary is $C$ . Observe that the integrand $1-6x^2-3y^2$ is positive in the elliptical region $6x^2+3y^2\le 1$ and negative outside of it. To maximize the integral $\iint _R\big[1-6x^2-3y^2\big]\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ we should choose $R$ to contain all points $(x,y)$ with the integrand $1-6x^2-3y^2\ge 0$ and to exclude all points $(x,y)$ with the integrand $1-6x^2-3y^2< 0$ . So we choose

$R=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 6x^2+3y^2\le 1\ \big\}$

The corresponding $C$ is $6x^2+3y^2= 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 6.4절 · 38번우리말 번역

그린 정리를 이용하여 선적분 ${\int }_{C}^{}\sqrt{1+{x}^{3}}dx+2xydy$ 의 값을 구하세요. 단, C 는 꼭짓점이 (0, 0), (1, 0), (1, 3) 인 삼각형이며 시계 방향으로 향하는 방향을 가진다.

다 풀었으면 정답 확인

${\int }_{C}^{}\sqrt{1+{x}^{3}}dx+2xydy=-3$

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