그린 정리

사다리꼴을 $T$라 하자.

그린 정리에 의해,

$$\begin{aligned} &\oint_C (x\sin y^2 -y^2)\,\mathrm{d}x+(x^2y\cos y^2+3x)\,\mathrm{d}y \\ &=\iint _T\left\{\frac{\partial }{\partial x}(x^2y\cos y^2+3x) -\frac{\partial }{\partial y} (x\sin y^2 -y^2)\right\}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\ &=\iint _T\big(2xy\cos y^2+3-2xy\cos y^2+2y\big)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\ &=\iint _T\big(3+2y\big)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$$

적분 $\iint _T(2y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ 는 $y\rightarrow-y$ 일 때 $2y$ 의 부호가 바뀌는 반면 적분의 정의역은 $y\rightarrow -y$ 에서 변하지 않으므로 0이 된다. 적분 $\iint _T 3\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ 는 사다리꼴의 넓이의 $3$배이고, 사다리꼴의 넓이는 가로 길이(1)와 높이의 평균 $(\tfrac{1}{2}[2+4])=3$ 의 곱이다. 따라서

$$\oint_C (x\sin y^2 -y^2)\,\mathrm{d}x+(x^2y\cos y^2+3x)\,\mathrm{d}y =3\times 1\times 3 = 9$$