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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

스토크스 정리

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 4.4절 · 9번대학 수준우리말 번역

F=−yez ı^+x3cos⁡z ȷ^+zsin⁡(xy) k^\mathbf{F} = - ye^z\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + x^3\cos z\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + z\sin(xy)\,\hat{\mathbf{k}} 라 하고, SS 를 xyxy평면의 정사각형 영역 −1≤x≤1-1\le x\le 1, −1≤y≤1-1\le y\le 1 의 위쪽에 놓인 곡면 z=(1−x2)(1−y2) z = (1-x^2)(1-y^2) 의 부분이라 하자. SS 를 통과하는 ∇×F{ \boldsymbol{\nabla} }\times \mathbf{F} 의 위쪽 방향 플럭스를 구하세요.

영어 원문 보기

Let F=−yez ı^+x3cos⁡z ȷ^+zsin⁡(xy) k^\mathbf{F} = - ye^z\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + x^3\cos z\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + z\sin(xy)\,\hat{\mathbf{k}}, and let SS be the part of the surface z=(1−x2)(1−y2) z = (1-x^2)(1-y^2) that lies above the square −1≤x≤1-1\le x\le 1, −1≤y≤1-1\le y\le 1 in the xyxy-plane. Find the flux of ∇×F{ \boldsymbol{\nabla} }\times \mathbf{F} upward through SS.

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곡면

S={ (x,y,z) ∣ −1≤x≤1, −1≤y≤1, z≥0, z=(1−x2)(1−y2) }={ (x,y,z) ∣ −1≤x≤1, −1≤y≤1,  z=(1−x2)(1−y2) }\begin{aligned} S&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ -1\le x\le 1,\ -1\le y\le 1,\ z\ge 0,\ z = (1-x^2)(1-y^2)\ \big\} \\ &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ -1\le x\le 1,\ -1\le y\le 1,\ \ z = (1-x^2)(1-y^2)\ \big\} \end{aligned}

이다. x=1x=1 또는 x=−1x=-1 또는 y=1y=1 또는 y=−1y=-1 일 때 z=(1−x2)(1−y2)=0z= (1-x^2)(1-y^2)=0 임에 주목하자. 따라서 SS 의 경계 CC 는 정사각형 −1≤x,y≤1-1\le x,y\le 1, z=0z=0 의 경계이며, 반시계 방향으로 향한다. 다음은 CC 의 개략도이다.

그림

스토크스 정리를 적용한다. CC 위에서 z=0z=0 이므로 F=−y ı^+x3 ȷ^\mathbf{F} = -y\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +x^3\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} 임에 주목하면,

∬S∇×F⋅n^ dS=∮CF⋅dr=∮C[−y ı^+x3ȷ^]⋅dr=∫−11−(−1) dx⏟y=−1 side+∫−11(1)3 dy⏟x=1 side+∫1−1−(1) dx⏟y=1 side+∫1−1(−1)3 dy⏟x=−1 side=8\begin{aligned} \iint _S{ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\oint_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\oint_C[-y\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+x^3\hat{\boldsymbol{\jmath}}]\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}\\ &=\underbrace{\int_{-1}^1 -(-1)\,\mathrm{d}x}_{y=-1{\rm\ side}} +\underbrace{\int_{-1}^1 (1)^3\,\mathrm{d}y}_{x=1{\rm\ side}} + \underbrace{\int^{-1}_1 -(1)\,\mathrm{d}x}_{y=1{\rm\ side}} + \underbrace{\int^{-1}_1 (-1)^3\,\mathrm{d}y}_{x=-1{\rm\ side}} \\ &=8 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

The surface

S={ (x,y,z) ∣ −1≤x≤1, −1≤y≤1, z≥0, z=(1−x2)(1−y2) }={ (x,y,z) ∣ −1≤x≤1, −1≤y≤1,  z=(1−x2)(1−y2) }\begin{aligned} S&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ -1\le x\le 1,\ -1\le y\le 1,\ z\ge 0,\ z = (1-x^2)(1-y^2)\ \big\} \\ &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ -1\le x\le 1,\ -1\le y\le 1,\ \ z = (1-x^2)(1-y^2)\ \big\} \end{aligned}

Note that when x=1x=1 or x=−1x=-1 or y=1y=1 or y=−1y=-1, we have z=(1−x2)(1−y2)=0z= (1-x^2)(1-y^2)=0. So the boundary of SS, call it CC, is the boundary of the square −1≤x,y≤1-1\le x,y\le 1, z=0z=0, oriented counterclockwise. Here is a sketch of CC.

figure

Apply Stokes' theorem. Observing that z=0z=0 on CC so that F=−y ı^+x3 ȷ^\mathbf{F} = -y\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +x^3\,\hat{\boldsymbol{\jmath}},

∬S∇×F⋅n^ dS=∮CF⋅dr=∮C[−y ı^+x3ȷ^]⋅dr=∫−11−(−1) dx⏟y=−1 side+∫−11(1)3 dy⏟x=1 side+∫1−1−(1) dx⏟y=1 side+∫1−1(−1)3 dy⏟x=−1 side=8\begin{aligned} \iint _S{ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\oint_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\oint_C[-y\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+x^3\hat{\boldsymbol{\jmath}}]\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}\\ &=\underbrace{\int_{-1}^1 -(-1)\,\mathrm{d}x}_{y=-1{\rm\ side}} +\underbrace{\int_{-1}^1 (1)^3\,\mathrm{d}y}_{x=1{\rm\ side}} + \underbrace{\int^{-1}_1 -(1)\,\mathrm{d}x}_{y=1{\rm\ side}} + \underbrace{\int^{-1}_1 (-1)^3\,\mathrm{d}y}_{x=-1{\rm\ side}} \\ &=8 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.4절 · 29번우리말 번역

CC 를 x+2y−z=7x+2y-z=7 과 x2−2x+4y2=15x^2-2x+4y^2=15 의 교선이라 하자. 곡선 CC 는 zz축 위쪽 높은 곳에서 볼 때 반시계 방향으로 향하고 있다.

F=(ex2+yz) ı^+(cos⁡(y2)−x2) ȷ^+(sin⁡(z2)+xy) k^\mathbf{F}=\big(e^{x^2}+yz\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big(\cos(y^2)-x^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\big(\sin(z^2)+xy\big)\,\hat{\mathbf{k}}

일 때, ∮CF⋅dr\oint_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} 의 값을 구하세요.

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F\mathbf{F} 의 꼴을 보면 직접 계산하기는 어려워 보인다. 그래서 스토크스 정리를 이용하되, SS 를 평면 G(x,y,z)=x+2y−z=7G(x,y,z)=x+2y-z=7 중에서 x2−2x+4y2=15x^2-2x+4y^2=15 의 안쪽에 있는 부분으로 잡는다. 그러면

n^ dS=±∇G∇G⋅k^ dx dy=±(ı^+2ȷ^−k^) dx dy\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S = \pm \frac{{ \boldsymbol{\nabla} } G}{{ \boldsymbol{\nabla} } G\cdot\hat{\mathbf{k}}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \pm\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}\big)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y

이다. CC 가 위에서 볼 때 반시계 방향이므로, 스토크스 정리에 따라 위쪽을 향하는 법선벡터를 택해야 하고, 따라서 n^ dS=−(ı^+2ȷ^−k^) dx dy\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S = -\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}\big)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y 이다.

다음을 관찰하면

∇×F=det⁡[ı^ȷ^k^∂∂x∂∂y∂∂zex2+yzcos⁡(y2)−x2sin⁡(z2)+xy]=x ı^−(z+2x) k^{ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}=\det\left[\begin{matrix}\hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\[0.05in] \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\[0.05in] e^{x^2}+yz & \cos(y^2)-x^2 & \sin(z^2)+xy \end{matrix} \right] =x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-(z+2x)\,\hat{\mathbf{k}}

이고 x2−2x+4y2=15x^2-2x+4y^2=15 를 (x−1)2+4y2=16(x-1)^2+4y^2=16 으로 다시 쓸 수 있으므로,

∮CF⋅dr=∬S∇×F⋅n^ dS=∬(x−1)2+4y2≤16 [xı^−(z+2x)k^]∣z=−7+x+2y⋅(−1,−2,1) dx dy=∬(x−1)2+4y2≤16[−x−(−7+x+2y+2x)] dx dy=∬(x−1)2+4y2≤16[7−4x−2y] dx dy\begin{aligned} \oint_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\iint _S { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S\\ &=\iint _{(x-1)^2+4y^2\le 16}\, [x\hat{\boldsymbol{\imath}}-(z+2x)\hat{\mathbf{k}}]\Big|_{z=-7+x+2y}\cdot(-1,-2,1)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\ &=\iint _{(x-1)^2+4y^2\le 16} [-x-(-7+x+2y+2x)]\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\ &=\iint _{(x-1)^2+4y^2\le 16} [7-4x-2y]\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}

이다.

xx 와 yy 의 적분을 계산하기 위해, xyxy평면 위의 임의의 영역 RR 에 대하여 다음이 성립함을 이용한다.

xˉ=∬Rx dx dy넓이(R)yˉ=∬Ry dx dy넓이(R)\bar x =\frac{\iint _R x\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y}{\text{넓이}(R)}\qquad \bar y =\frac{\iint _R y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y}{\text{넓이}(R)}

이 타원은 (x−1)242+y222=1\frac{(x-1)^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}=1 이므로 넓이가 πab=π×4×2=8π\pi ab = \pi\times4\times 2=8\pi 이고 무게중심은 (xˉ,yˉ)=(1,0)(\bar x,\bar y) = (1,0) 이다. 따라서 R={ (x,y) ∣ (x−1)242+y222≤1 }R=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ \frac{(x-1)^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}\le 1\ \big\} 로 놓으면

∮CF⋅dr=∬R[7−4x−2y] dx dy=넓이(R){7−4xˉ−2yˉ}=8π[7−4×1−2×0]=24π\begin{aligned} \oint_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\iint _R [7-4x-2y]\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\ &=\text{넓이}(R) \big\{7-4\bar x-2\bar y\}\\ &=8\pi[7-4\times 1-2\times 0]=24\pi \end{aligned}

이다.

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