스토크스 정리 연습문제 — CLP-4 · 4.4절 · 22번

CLP-4 · 4.4절 · 22번대학 수준우리말 번역

다음과 같이 두자.

$\mathbf{F} = x \sin y\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - y \sin x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (x - y)z^2\,\hat{\mathbf{k}}$

스토크스 정리를 이용하여

$\int_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$

의 값을 구하세요. 경로는 점 $P_0 = (0, 0, 0)$ 에서 $P_1 = (\pi/2, 0, 0)$ 으로, $P_2 = (\pi/2, 0, 1)$ 으로, $P_3 = (0, 0, 1)$ 으로, $P_4 = (0, \pi/2, 1)$ 으로, $P_5 = (0, \pi/2, 0)$ 으로, 다시 $(0, 0, 0)$ 으로 차례로 이어지는 선분들로 이루어져 있다.

영어 원문 보기

Let

$\mathbf{F} = x \sin y\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - y \sin x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (x - y)z^2\,\hat{\mathbf{k}}$

Use Stokes' theorem to evaluate

$\int_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$

along the path consisting of the straight line segments successively joining the points $P_0 = (0, 0, 0)$ to $P_1 = (\pi/2, 0, 0)$ to $P_2 = (\pi/2, 0, 1)$ to $P_3 = (0, 0, 1)$ to $P_4 = (0, \pi/2, 1)$ to $P_5 = (0, \pi/2, 0)$ , and back to $(0, 0, 0)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

복잡한 벡터장을 비교적 복잡한 닫힌 곡선을 따라 선적분하는 문제이다. 따라서 적분을 직접 계산하려 하지 않는 것이 좋다. 스토크스 정리를 사용해야 하므로 회전(curl)을 계산하자.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F} &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ \tfrac{\partial}{\partial x} & \tfrac{\partial}{\partial y} & \tfrac{\partial}{\partial z} \\ x \sin y & - y \sin x & (x - y)z^2 \end{matrix} \right] =-z^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-z^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -(y\cos x +x\cos y)\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

다음으로 경계가 $C$ 인 곡면을 찾아야 한다. 먼저 $C$ 의 개형은 다음과 같다.

곡면 $S$ 를 평평한 두 부분의 합집합으로 택할 수 있다.

$xz$ 평면 위에 있고 꼭짓점이 $(0,0,0)$ , $({\pi}/{2},0,0)$ , $({\pi}/{2},0,1)$ , $(0,0,1)$ 인 직사각형 $S_x$
$yz$ 평면 위에 있고 꼭짓점이 $(0,0,0)$ , $(0,0,1)$ , $(0,{\pi}/{2},1)$ , $(0,{\pi}/{2},0)$ 인 직사각형 $S_y$

$S_x$ 의 법선 벡터는 $-\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이고 $S_y$ 의 법선 벡터는 $-\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 이다. 그러면 스토크스 정리에 의해

$\begin{aligned} \int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} &=\iint _S { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S \\ &=\iint _{S_x} { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\jmath}})\,\mathrm{d}S + \iint _{S_y} { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\imath}})\,\mathrm{d}S \\ &=\int_0^{{\pi}/{2}} \mathrm{d}x\int_0^1\mathrm{d}z\ z^2 + \int_0^{{\pi}/{2}} \mathrm{d}y\int_0^1\mathrm{d}z\ z^2 \\ &=\int_0^{{\pi}/{2}} \mathrm{d}x\ \frac{1}{3} + \int_0^{{\pi}/{2}} \mathrm{d}y\ \frac{1}{3} \\ &=\frac{\pi}{3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We are to evaluate the line integral of a complicated vector field around a relatively complicated closed curve. That certainly suggests that we should not try to evaluate the integral directly. As we are to use Stokes' theorem, let's compute the curl

Next we need to find a surface whose boundary is $C$ . First, here is a sketch of $C$ .

We can choose the surface $S$ to be the union of two flat parts:

the rectangle $S_x$ in the $xz$ -plane with vertices $(0,0,0)$ , $({\pi}/{2},0,0)$ , $({\pi}/{2},0,1)$ and $(0,0,1)$ and
the rectangle $S_y$ in the $yz$ -plane with vertices $(0,0,0)$ , $(0,0,1)$ , $(0,{\pi}/{2},1)$ and $(0,{\pi}/{2},0)$

The normal to $S_x$ is $-\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ and the normal to $S_y$ is $-\hat{\boldsymbol{\imath}}$ . Then Stokes' theorem gives

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.4절 · 16번우리말 번역

(a) $\mathbb{R}^3$ 에서 벡터장 $\mathbf{F}(x, y, z) = (z^2 , x^2 , y^2)$ 을 생각하세요. 선적분 $\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ 의 값을 구하세요. 여기서 $C$ 는 세 선분으로 이루어진 곡선으로, $L_1$ 은 $(2, 0, 0)$ 에서 $(0, 2, 0)$ 까지, 이어서 $L_2$ 는 $(0, 2, 0)$ 에서 $(0, 0, 2)$ 까지, 마지막으로 $L_3$ 은 $(0, 0, 2)$ 에서 $(2, 0, 0)$ 까지이다. (b) 단순닫힌곡선 $C$ 가 평면 $x + y + z = 2$ 위에 놓여 있다. 이 곡선 $C$ 가 평면 $x + y + z = 2$ 안에서 둘러싸는 곡면의 넓이는 $3$ 이다. 곡선 $C$ 는 양의 $x$ 축 쪽에서 볼 때 시계 반대 방향으로 향하도록 정해져 있다. $\mathbf{F}$ 가 (a)와 같을 때, 선적분 $\oint_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$ 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

(a)

(b)

다 풀었으면 정답 확인

(a) 세 꼭짓점 $(2,0,0)$ , $(0,2,0)$ , $0,0,2)$ 이 모두 평면 $x+y+z=2$ 위에 있다. 따라서 경로 전체도 그 평면 위에 있다.

(b)에서는 직접 계산할 수 없는 선적분을 구해야 하므로 스토크스 정리를 써야 한다. 그러므로 (a)에서도 스토크스 정리를 쓰자. 먼저

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F} &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ \tfrac{\partial}{\partial x} & \tfrac{\partial}{\partial y} & \tfrac{\partial}{\partial z} \\ z^2 & x^2 & y^2 \end{matrix} \right] =2y\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 2z\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} \end{aligned}$

을 얻는다.

$S$ 를 평면 $x+y+z=2$ 에 포함되고 $L_1$ , $L_2$ , $L_3$ 으로 둘러싸인 삼각형 모양의 곡면이라 하자. $S$ 의 방향은 법선벡터 $\hat{\mathbf{n}} = \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}})$ 로 정한다. 그러면

${ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}} =\frac{1}{\sqrt{3}}\big(2y\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 2z\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}\big)\cdot(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}) =\frac{2}{\sqrt{3}}(x+y+z)$

이고, 스토크스 정리에 의해

$\begin{aligned} \oint_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\iint _S{ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\frac{2}{\sqrt{3}}\iint _S(x+y+z)\,\mathrm{d}S =\frac{4}{\sqrt{3}}\iint _S\mathrm{d}S =\frac{4}{\sqrt{3}}\text{Area}(S) \end{aligned}$

이다.

삼각형 $S$ 는 두 변이 $(0,2,0)-(2,0,0) =(-2,2,0)$ 과 $(0,0,2)-(2,0,0)=(-2,0,2)$ 인 평행사변형의 절반이다. 이 평행사변형의 넓이는

$\begin{aligned} \big|(-2,2,0)\times (-2,0,2)\big| =\big|(4,4,4)\big| =4\sqrt{3} \end{aligned}$

이다.

따라서

$\begin{aligned} \oint_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \frac{4}{\sqrt{3}} 2\sqrt{3} =8 \end{aligned}$

이다.

(b) $\tilde S$ 를 주어진 곡면이라 하자. 그러면 (a)와 같이

$\begin{aligned} \oint_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\iint _{\tilde S}{ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\frac{2}{\sqrt{3}}\iint _{\tilde S}(x+y+z)\,\mathrm{d}S =\frac{4}{\sqrt{3}}\iint _{\tilde S}\mathrm{d}S =\frac{4}{\sqrt{3}}\text{Area}(\tilde S) \\ &=4\sqrt{3} \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

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