스토크스 정리 연습문제 — CLP-4 · 4.4절 · 23번

CLP-4 · 4.4절 · 23번대학 수준우리말 번역

다음과 같이 두세요.

$\mathbf{F}=\left(\frac{2z}{1+y}+\sin(x^2)\,,\, \frac{3z}{1+x}+\sin(y^2)\,,\, 5(x+1)(y+2)\right)$

$C$ 는 네 선분으로 이루어진 방향이 있는 곡선이라 하세요. 네 선분은 다음과 같습니다. $(0,0,0)$ 에서 $(2,0,0)$ 까지, $(2,0,0)$ 에서 $(0,0,2)$ 까지, $(0,0,2)$ 에서 $(0,3,0)$ 까지, $(0,3,0)$ 에서 $(0,0,0)$ 까지.

(a) $C$ 의 그림을 그리세요. 각 선분의 방향을 분명하게 나타내세요. (b) 일 적분 $\int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let

$\mathbf{F}=\left(\frac{2z}{1+y}+\sin(x^2)\,,\, \frac{3z}{1+x}+\sin(y^2)\,,\, 5(x+1)(y+2)\right)$

Let $C$ be the oriented curve consisting of four line segments from $(0,0,0)$ to $(2,0,0)$ , from $(2,0,0)$ to $(0,0,2)$ , from $(0,0,2)$ to $(0,3,0)$ , and from $(0,3,0)$ to $(0,0,0)$ .

(a) Draw a picture of $C$ . Clearly indicate the orientation on each line segment. (b) Compute the work integral $\int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ .

정답·풀이 보기

(a) 그림은 다음과 같다.

(b) 복잡한 벡터장을 비교적 복잡한 닫힌곡선을 따라 선적분하는 문제이다. 따라서 적분을 직접 계산하려 해서는 안 된다는 것을 알 수 있다. 스토크스 정리를 이용해 보자. 먼저 회전(curl)을 계산한다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F} &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ \tfrac{\partial}{\partial x} & \tfrac{\partial}{\partial y} & \tfrac{\partial}{\partial z} \\ \frac{2z}{1+y}+\sin(x^2) & \frac{3z}{1+x}+\sin(y^2) & 5(x+1)(y+2) \end{matrix} \right] \\ &= \Big(5(x+1)-\frac{3}{1+x}\Big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -\Big(5(y+2)-\frac{2}{1+y}\Big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\Big(-\frac{3z}{(1+x)^2}+\frac{2z}{(1+y)^2}\Big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

다음으로 경계가 $C$ 인 곡면 $S$ 를 찾아야 한다. 곡면 $S$ 를 평평한 두 부분의 합집합으로 잡을 수 있다.

$xz$ 평면 위의 삼각형 $S_x$ : 꼭짓점이 $(0,0,0)$ , $(2,0,0)$ , $(0,0,2)$ 이다.
$yz$ 평면 위의 삼각형 $S_y$ : 꼭짓점이 $(0,0,0)$ , $(0,0,2)$ , $(0,3,0)$ 이다.

다음에 주목한다.

스토크스 정리에서 정해지는 $S_x$ 의 법선벡터는 $-\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이다. $S_x$ 위에서는 $y=0$ 이므로 ${ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 는 $-\big(5(0+2)-\frac{2}{1+0}\big)=-8$ 로 간단해진다.
스토크스 정리에서 정해지는 $S_y$ 의 법선벡터는 $-\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 이다. $S_y$ 위에서는 $x=0$ 이므로 ${ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 는 $\big(5(0+1)-\frac{3}{1+0}\big)=2$ 로 간단해진다.

따라서 스토크스 정리에 의해 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} \int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} &=\iint _S { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iint _{S_x} \overbrace{{ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\jmath}})}^{8}\,\mathrm{d}S + \iint _{S_y} \overbrace{{ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\imath}})}^{-2}\,\mathrm{d}S \\ &=8\,\text{넓이}(S_x) -2\,\text{넓이}(S_y) =8\frac{1}{2}(2)(2) -2\frac{1}{2}(3)(2) \\ &=10 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Here is a sketch.

(b) We are to evaluate the line integral of a complicated vector field around a relatively complicated closed curve. That certainly suggests that we should not try to evaluate the integral directly. Let's try Stokes' theorem. First, we compute the curl

Next we need to find a surface $S$ whose boundary is $C$ . We can choose the surface $S$ to be the union of two flat parts:

the triangle $S_x$ in the $xz$ -plane with vertices $(0,0,0)$ , $(2,0,0)$ , and $(0,0,2)$ and
the triangle $S_y$ in the $yz$ -plane with vertices $(0,0,0)$ , $(0,0,2)$ , and $(0,3,0)$

Note that

The normal to $S_x$ specified by Stokes' theorem is $-\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ . On $S_x$ we have $y=0$ , so that ${ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ simplifies to $-\big(5(0+2)-\frac{2}{1+0}\big)=-8$ .
The normal to $S_y$ specified by Stokes' theorem is $-\hat{\boldsymbol{\imath}}$ . On $S_y$ we have $x=0$ , so that ${ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}}$ simplifies to $\big(5(0+1)-\frac{3}{1+0}\big)=2$ .

So Stokes' theorem gives

$\begin{aligned} \int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} &=\iint _S { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iint _{S_x} \overbrace{{ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\jmath}})}^{8}\,\mathrm{d}S + \iint _{S_y} \overbrace{{ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\imath}})}^{-2}\,\mathrm{d}S \\ &=8\,\text{Area}(S_x) -2\,\text{Area}(S_y) =8\frac{1}{2}(2)(2) -2\frac{1}{2}(3)(2) \\ &=10 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.4절 · 22번우리말 번역

다음과 같이 두자.

$\mathbf{F} = x \sin y\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - y \sin x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (x - y)z^2\,\hat{\mathbf{k}}$

스토크스 정리를 이용하여

$\int_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$

의 값을 구하세요. 경로는 점 $P_0 = (0, 0, 0)$ 에서 $P_1 = (\pi/2, 0, 0)$ 으로, $P_2 = (\pi/2, 0, 1)$ 으로, $P_3 = (0, 0, 1)$ 으로, $P_4 = (0, \pi/2, 1)$ 으로, $P_5 = (0, \pi/2, 0)$ 으로, 다시 $(0, 0, 0)$ 으로 차례로 이어지는 선분들로 이루어져 있다.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

복잡한 벡터장을 비교적 복잡한 닫힌 곡선을 따라 선적분하는 문제이다. 따라서 적분을 직접 계산하려 하지 않는 것이 좋다. 스토크스 정리를 사용해야 하므로 회전(curl)을 계산하자.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F} &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ \tfrac{\partial}{\partial x} & \tfrac{\partial}{\partial y} & \tfrac{\partial}{\partial z} \\ x \sin y & - y \sin x & (x - y)z^2 \end{matrix} \right] =-z^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-z^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -(y\cos x +x\cos y)\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

다음으로 경계가 $C$ 인 곡면을 찾아야 한다. 먼저 $C$ 의 개형은 다음과 같다.

곡면 $S$ 를 평평한 두 부분의 합집합으로 택할 수 있다.

$xz$ 평면 위에 있고 꼭짓점이 $(0,0,0)$ , $({\pi}/{2},0,0)$ , $({\pi}/{2},0,1)$ , $(0,0,1)$ 인 직사각형 $S_x$
$yz$ 평면 위에 있고 꼭짓점이 $(0,0,0)$ , $(0,0,1)$ , $(0,{\pi}/{2},1)$ , $(0,{\pi}/{2},0)$ 인 직사각형 $S_y$

$S_x$ 의 법선 벡터는 $-\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이고 $S_y$ 의 법선 벡터는 $-\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 이다. 그러면 스토크스 정리에 의해

$\begin{aligned} \int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} &=\iint _S { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S \\ &=\iint _{S_x} { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\jmath}})\,\mathrm{d}S + \iint _{S_y} { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\imath}})\,\mathrm{d}S \\ &=\int_0^{{\pi}/{2}} \mathrm{d}x\int_0^1\mathrm{d}z\ z^2 + \int_0^{{\pi}/{2}} \mathrm{d}y\int_0^1\mathrm{d}z\ z^2 \\ &=\int_0^{{\pi}/{2}} \mathrm{d}x\ \frac{1}{3} + \int_0^{{\pi}/{2}} \mathrm{d}y\ \frac{1}{3} \\ &=\frac{\pi}{3} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

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