스토크스 정리

주어진 벡터장의 회전(curl)은

$$\begin{aligned} \nabla\times\mathbf{F} &=\nabla\times\big(z\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+y^3z^3\,\hat{\mathbf{k}}\big) \\ &= \det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \tfrac{\partial}{\partial x} & \tfrac{\partial}{\partial y} & \tfrac{\partial}{\partial z} \\ z & x & y^3z^3 \end{matrix}\right] \\ &=3y^2z^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$$

이다. 모든 $t$ 에 대해 $x(t)=z(t)$ 이고 $x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2=2$ 이다. 따라서 주어진 곡선은 평면 $x=z$ 와 구 $x^2+y^2+z^2=2$ 의 교선이다. 이 곡선은 다음 원판의 경계이다.

$$D = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x=z,\ x^2+y^2+z^2\le 2\ \big\}$$

곡선의 방향은 $\big(x(t),y(t)\big)=\big(\cos t,\sqrt{2}\sin t\big)$ 가 표준 방향(반시계 방향)으로 움직이도록 정해져 있다. 그러므로 스토크스 정리에서 쓰는 $D$ 의 단위법선벡터는 $\hat{\mathbf{k}}$ 성분이 양수이다. 평면 $x-z=0$ 의 단위법선벡터는 $\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)$ 이므로, 스토크스 정리에서 쓰는 단위법선벡터는 $\hat{\mathbf{n}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1)$ 이다. 스토크스 정리에 의해

$$\begin{aligned} \oint_C \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\iint _D\nabla\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}S =\frac{1}{\sqrt{2}}\iint _D(3y^2z^3,1,1)\cdot(-1,0,1)\ \mathrm{d}S \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\iint _D(1-3y^2z^3)\ \mathrm{d}S \end{aligned}$$

이다.

원판 $D$ 는 반사 $(x,y,z)\rightarrow(-x,y,-z)$ 에 대해 불변이다. $y^2z^3$ 은 이 반사에 대해 홀함수이므로 $\iint _D y^2z^3\ \mathrm{d}s=0$ 이고,

$$\oint \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\frac{1}{\sqrt{2}}\iint _D \ \mathrm{d}S =\frac{1}{\sqrt{2}}{\rm Area}(D)$$

이다.

공 $x^2+y^2+z^2\le 2$ 의 중심 $(0,0,0)$ 이 평면 $x=z$ 위에 있으므로, 원판 $D$ 의 반지름은 구 $x^2+y^2+z^2=2$ 의 반지름과 같다. 따라서 $D$ 의 반지름은 $\sqrt{2}$ 이고

$$\oint \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\frac{1}{\sqrt{2}}{\rm Area}(D) =\frac{1}{\sqrt{2}}\pi{\big(\,\sqrt{2}\,\big)}^2 =\sqrt{2}\pi$$

이다.