스토크스 정리 연습문제 — CLP-4 · 4.4절 · 40번

CLP-4 · 4.4절 · 40번대학 수준우리말 번역

$\iint _S({ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS$ 를 생각하세요. 여기서 $S$ 는 구 $x^2+y^2+z^2=1$ 의 일부분으로 $x+y+z\ge 1$ 을 만족하고, $\hat{\mathbf{n}}$ 은 구의 위쪽을 향하는 법선벡터이며 $\mathbf{F}=(y-z)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(z-x)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(x-y)\hat{\mathbf{k}}$ 입니다. $\iint _S({ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iint _{S'}({ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$ 를 만족하는 다른 곡면 $S'$ 을 구하고, $\iint _{S'}({ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Consider $\iint _S({ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS$ where $S$ is the portion of the sphere $x^2+y^2+z^2=1$ that obeys $x+y+z\ge 1$ , $\hat{\mathbf{n}}$ is the upward pointing normal to the sphere and $\mathbf{F}=(y-z)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(z-x)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(x-y)\hat{\mathbf{k}}$ . Find another surface $S'$ with the property that $\iint _S({ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iint _{S'}({ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$ and evaluate $\iint _{S'}({ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$S'$ 을 평면 $x+y+z=1$ 중에서 구 $x^2+y^2+z^2=1$ 의 내부에 있는 부분이라 하자. 그러면 $\partial S=\partial S'$ 이므로 스토크스 정리에 의해 ( $\hat{\mathbf{n}}$ 은 항상 위쪽을 향하는 법선벡터)

$\iint _{S'}({ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\oint_{\partial S'}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\iint _{S}({ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$

이다. 한편

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}=\det\left[\begin{matrix}\hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\[0.05in] \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\[0.05in] y-z & z-x & x-y \end{matrix}\right] =-2(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}) \end{aligned}$

이고, $S'$ 위에서 $\hat{\mathbf{n}}=\frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}})$ 이므로

$\iint _{S'}({ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iint _{S'}\big(-2\sqrt{3}\big)\,\mathrm{d}S =-2\sqrt{3}\times{\rm Area}(S')$

이다.

$S'$ 은 평면과 구의 교선으로 둘러싸인 부분이므로 원판이다. 그 중심 $(x_c,y_c,z_c)$ 는 $x_c+y_c+z_c=1$ 을 만족해야 한다. 대칭성에 의해 $x_c=y_c=z_c$ 이므로 $x_c=y_c=z_c=\frac{1}{3}$ 이다. $x+y+z=1$ 과 $x^2+y^2+z^2=1$ 을 모두 만족하는 임의의 점 $(x,y,z)$ 는

$\begin{aligned} \left(x-\frac{1}{3}\right)^2+\left(y-\frac{1}{3}\right)^2 +\left(z-\frac{1}{3}\right)^2 =x^2+y^2+z^2-\frac{2}{3}(x+y+z)+3\frac{1}{9} =1-\frac{2}{3} +\frac{1}{3}=\frac{2}{3} \end{aligned}$

을 만족한다.

즉 $S'$ 의 경계 위의 모든 점은 $\big(\frac{1}{3}\,,\,\frac{1}{3}\,,\,\frac{1}{3}\big)$ 로부터 거리 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ 에 있다. 따라서 $S'$ 의 반지름은 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ 이고, $S'$ 의 넓이는 $\frac{2}{3}\pi$ 이며

$\iint _{S'}({ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =-2\sqrt{3}\times{\rm Area}(S') =-\frac{4}{\sqrt{3}}\pi$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $S'$ be the portion of $x+y+z=1$ that is inside the sphere $x^2+y^2+z^2=1$ . Then $\partial S=\partial S'$ , so, by Stokes' theorem, (with $\hat{\mathbf{n}}$ always the upward pointing normal)

and, on $S'$ , $\hat{\mathbf{n}}=\frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}})$

$\iint _{S'}({ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iint _{S'}\big(-2\sqrt{3}\big)\,\mathrm{d}S =-2\sqrt{3}\times{\rm Area}(S')$

$S'$ is the intersection of a plane with a sphere and so is a circular disk. It's center $(x_c,y_c,z_c)$ has to obey $x_c+y_c+z_c=1$ . By symmetry, $x_c=y_c=z_c$ , so $x_c=y_c=z_c=\frac{1}{3}$ . Any point, $(x,y,z)$ , which satisfies both $x+y+z=1$ and $x^2+y^2+z^2=1$ , obeys

That is, any point on the boundary of $S'$ is a distance $\sqrt{\frac{2}{3}}$ from $\big(\frac{1}{3}\,,\,\frac{1}{3}\,,\,\frac{1}{3}\big)$ . So the radius of $S'$ is $\sqrt{\frac{2}{3}}$ , the area of $S'$ is $\frac{2}{3}\pi$ and

$\iint _{S'}({ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =-2\sqrt{3}\times{\rm Area}(S') =-\frac{4}{\sqrt{3}}\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 6.7절 · 28번우리말 번역

스토크스 정리를 이용하여 ${\int }_{C}F\cdot dr$ 의 값을 구하세요. 여기서 $\text{F}(x,y,z)=y\text{i}+z\text{j}+x\text{k}$ 이고 C 는 꼭짓점이 (0, 0, 0), (2, 0, 0), $(0,-2,2)$ 인 삼각형이며 위에서 볼 때 반시계 방향으로 향하도록 정해져 있다.

다 풀었으면 정답 확인

${\int }_{C}F\cdot dr=-4$

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