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삼각함수의 그래프

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.1절 · 43번우리말 번역

[0,2π][0,2\pi ] 에서 h(x)=x+sin⁡ xh(x)=x+\sin \,x 의 그래프를 그리세요. 그래프가 그렇게 나타나는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Graph h(x)=x+sin⁡ xh(x)=x+\sin \,x on [0,2π].[0,2\pi ]. Explain why the graph appears as it does.

정답·풀이 보기

일차함수가 주기함수인 사인함수에 더해진 것이다. 일차함수가 한없이 증가하므로 합성된 함수

h(x)=x+sin⁡xh(x)=x+\sin x 도 한없이 증가하기 때문에 이 그래프에는 진폭이 없다. 사인함수는 −1과 1 사이에서 진동하므로 이 그래프는

y=x+1y=x+1

과

y=x−1y=x-1

의 그래프 사이에 유계이다.

이 그림은 함수 h(t)의 그래프를 t에 대하여 나타낸 것이다. 가로축은 t를 나타내며 0부터 2π까지이고, π/2, π, 3π/2에 눈금이 표시되어 있다. 세로축은 h(t)를 나타내며 0부터 6까지이다. 곡선은 원점 (0,0)에서 시작하여 계속 올라가 약 (2π, 6)에 이른다. 함수는 처음에는 기울기가 증가하는 구간을 보이고, 이어서 기울기가 감소하는 구간(t=π 부근이며 이때 h(t)는 약 3)이 나타나 증가 속도가 느려짐을 알 수 있으며, 그 뒤 구간의 끝으로 갈수록 기울기가 다시 증가하여 증가 속도가 빨라짐을 보인다.

원본 교재 풀이(영어)

A linear function is added to a periodic sine function. The graph does not have an amplitude because as the linear function increases without bound the combined function

h(x)=x+sin⁡xh(x)=x+\sin x will increase without bound as well. The graph is bounded between the graphs of

y=x+1y=x+1

and

y=x−1y=x-1

because sine oscillates between −1 and 1.

This image displays a graph of the function h(t) versus t. The horizontal axis represents t, ranging from 0 to 2π, with key markers at π/2, π, and 3π/2. The vertical axis represents h(t), ranging from 0 to 6. The curve starts at the origin (0,0) and rises continuously to approximately (2π, 6). The function exhibits an initial period of increasing slope, followed by a region where the slope decreases (around t=π, where h(t) is about 3), indicating a slowing rate of increase, and then the slope increases again, showing an accelerating rate of increase towards the end of the interval.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.1절 · 45번우리말 번역

[0,2π][0,2\pi ] 에서 f(x)=x sin⁡ xf(x)=x\,\sin \,x 의 그래프를 그리고, 이 그래프가 f(x)=sin⁡ xf(x)=\sin \,x 의 그래프와 어떻게 달라지는지 말로 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

함수가 유계가 아니므로 진폭이 없다. 좌표계 위에 그려진 주기함수의 그래프를 보여 주는 그림이다. 이 좌표계에서는 y축이 뒤집혀 있다. "X"라고 표시된 x축은 0부터 2pi까지이며, pi/2, pi, 3pi/2, 2pi에 주요 눈금이 있다. "f(x)"라고 표시된 y축은 원점(0)이 맨 위에 있고, 1부터 5까지의 양의 정수 값이 아래쪽으로 갈수록 커진다. 곡선은 점 (0,0)에서 시작하며, 이 점은 함숫값의 극솟값에 해당한다. 그 뒤 곡선은 아래로 내려가는데, 이는 함숫값이 증가함을 뜻하고, x=pi/2 근처에서 극댓값 2에 이른다. 이어서 곡선은 위로 올라가 함숫값이 감소하며, x=pi에서 극솟값 0으로 돌아온다. 그 후 곡선은 다시 아래로 내려가 함숫값이 더 커지고, x=3pi/2 근처에서 최댓값 5에 이른 다음, 마지막으로 위로 올라가 x=2pi에서 극솟값 0으로 돌아오며, 이로써 진동의 한 주기가 완성된다.

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