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이차함수와 그래프

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OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 8번우리말 번역

y=−x2+6x−9y=-{x}^{2}+6x-9 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph y=−x2+6x−9y=-{x}^{2}+6x-9.

정답·풀이 보기
방정식의 한쪽에 y만 있다. 일반적인 이차방정식 y = ax^2 + bx + c 가 구체적인 예인 y = -x^2 + 6x - 9 위에 나타나 있다.
a가 −1-1 이므로 포물선은 아래쪽으로 열린다. 대칭축을 구하기 위해 x=−b2ax=-\frac{b}{2a} 를 구한다. 빨간 호가 아래를 향한 두 화살표를 이어 주고 있어, 내려가는 두 점 또는 결과 사이의 경로나 관계를 나타내는 듯하다. 이차방정식의 포물선에서 꼭짓점의 x좌표를 구하는 데 쓰이는 공식 x = -b / (2a) 가 나타나 있다. X는 -6을 2와 -1의 곱으로 나눈 것과 같다는 식, 즉 X = -6 / (2(-1)) 이 나타나 있다. 흰 배경에 검은 글씨로 수식 'x=3' 이 나타나 있다. 대칭축은 x=3x=3 이다. 꼭짓점은 직선 x=3x=3 위에 있다. 좌표평면에 x=3 에서 수직인 빨간 점선이 있고, 이 선은 x축과 3에서 만나며 (3,4), (3,0), (3,-10) 같은 점들을 지나 끝없이 뻗어 있다.
x=3x=3 일 때 y 를 구한다. 흰 배경에 y = -x^2 + 6x - 9 라는 수식이 나타나 있다. 이는 이차함수를 나타내며, 아래로 열린 포물선인 것으로 보인다. 수식 y = -3의 제곱 + 6 * 3 - 9 이며, 숫자 3 은 치환에 쓰였음을 나타내기 위해 빨간색으로 강조되어 있다. y = -9 + 18 - 9 라는 수식, 즉 y 는 음의 9 더하기 18 빼기 9 와 같다는 식이 나타나 있다. 흰 배경에 검은 글씨로 수식 'y = 0' 이 나타나 있다. 꼭짓점은 (3,0)(3,0) 이다. 방정식 x=3 을 나타내는 수직 점선이 x축과 (3,0) 에서 만나는 그래프가 나타나 있다.
y절편은 x=0x=0 일 때 나타난다. x=0x=0 을 대입한다. 간단히 한다. 점 (0,−9)(0,-9) 는 대칭축에서 왼쪽으로 3만큼 떨어져 있다. 대칭축에서 오른쪽으로 3만큼 떨어진 점은 (6,−9)(6,-9) 이다. y절편과 대칭인 점은 (6,−9)(6,-9) 이다. y = -x^2 + 6x - 9 라는 수식이 나타나 있다. 이는 이차함수를 나타내며, 아래로 열린 포물선으로 그려질 것으로 보인다. 수식 y = -0^2 + 6 '.' 0 - 9 가 나타나 있으며, 이차식에 0을 대입하여 y 를 계산한다. 흰 배경에 검은 글씨로 간단한 대수 방정식 'y = -9' 가 나타나 있다. y절편은 (0,−9)(0,-9) 이다. 이 그래프는 x=3 에서 수직인 점선과 직교좌표계 위의 서로 다른 세 점을 보여 준다. 한 점은 직선 위에 있고, 나머지 두 점은 y=-9 에서 가로로 나란히 놓여 있다.
x절편은 y=0y=0 일 때 나타난다. y = -x^2 + 6x - 9 라는 수식이 나타나 있다. 이는 이차함수를 나타내며, 아래로 열린 포물선의 그래프를 그리는 데 쓰일 수 있다.
y=0y=0 을 대입한다. 0 = -x^2 + 6x - 9 로 나타낸 이차방정식이다.
최대공약수로 묶는다. 흰 배경에 검은 글씨로 '0 = -(x^2 - 6x + 9)' 가 나타나 있으며, 괄호 밖에 음의 부호가 있는 이차식을 0과 같다고 놓은 것이다.
삼항식을 인수분해한다. 흰 배경에 선명한 디지털 글꼴로 0 = -(x - 3)^2 이라는 수식이 나타나 있다.
x 에 대해 푼다. 흰 배경에 간단한 대수 방정식 'X = 3' 이 나타나 있다.
점들을 이어 포물선의 그래프를 그린다. 꼭짓점이 (3, 0) 인 아래로 열린 포물선의 그래프가 나타나 있다. 빨간 점선은 x = 3 에서의 대칭축을 나타낸다. 포물선 위의 두 점은 (1, -9) 와 (5, -9) 이다.
원본 교재 풀이(영어)
The equation y has on one side. A general quadratic equation y = ax^2 + bx + c is shown above a specific example, y = -x^2 + 6x - 9.
Since a is −1-1, the parabola opens downward. To find the axis of symmetry, find x=−b2ax=-\frac{b}{2a}. A red arc connects two downward-pointing arrows, suggesting a path or relationship between two descending points or outcomes. The formula x = -b / (2a) is displayed, which is used to find the x-coordinate of the vertex of a parabola for a quadratic equation. A mathematical equation shows X equals negative 6 divided by the product of 2 and negative 1, written as X = -6 / (2(-1)). The mathematical equation 'x=3' is displayed in black text on a plain white background. The axis of symmetry is x=3.x=3. The vertex is on the line x=3.x=3. A coordinate plane shows a vertical dashed red line at x=3, intersecting the x-axis at 3 and extending indefinitely through points such as (3,4), (3,0), and (3,-10).
Find y when x=3.x=3. A mathematical equation is displayed on a white background: y = -x^2 + 6x - 9. This represents a quadratic function, likely a parabola opening downwards. Mathematical expression y = -3 squared + 6 * 3 - 9; the number 3 is highlighted in red to indicate its use as a variable for substitution. A mathematical equation is displayed, showing y = -9 + 18 - 9, where y is equal to negative nine plus eighteen minus nine. The mathematical equation 'y = 0' is displayed in black font against a white background. The vertex is (3,0).(3,0). A graph displays a vertical dashed line representing the equation x=3, intersecting the x-axis at (3,0).
The y-intercept occurs when x=0.x=0. Substitute x=0.x=0. Simplify. The point (0,−9)(0,-9) is three units to the left of the line of symmetry. The point three units to the right of the line of symmetry is (6,−9).(6,-9). Point symmetric to the *y-*intercept is (6,−9)(6,-9) A mathematical equation is displayed, showing y = -x^2 + 6x - 9. This represents a quadratic function, likely to be graphed as a parabola opening downwards. The mathematical equation y = -0^2 + 6 '.' 0 - 9 is displayed, where y is calculated by substituting 0 into a quadratic expression. The image displays the simple algebraic equation 'y = -9' in black text on a plain white background. The y-intercept is (0,−9).(0,-9). This graph illustrates a vertical dashed line at x=3 and three distinct points on a Cartesian coordinate system. One point is on the line, and two others are horizontally aligned at y=-9.
The x-intercept occurs when y=0.y=0. A mathematical equation is displayed, showing y = -x^2 + 6x - 9, which represents a quadratic function and could be used for graphing a parabola opening downwards.
Substitute y=0.y=0. A quadratic equation displayed as 0 = -x^2 + 6x - 9.
Factor the GCF. A mathematical equation shows '0 = -(x^2 - 6x + 9)' in black text on a white background, representing a quadratic expression set equal to zero with a negative sign outside the parentheses.
Factor the trinomial. The image shows the mathematical equation 0 = -(x - 3)^2 in a clear, digital font against a white background.
Solve for x. The image displays a simple algebraic equation, 'X = 3', set against a plain white background.
Connect the points to graph the parabola. A graph displays a downward-opening parabola with its vertex at (3, 0). A dashed red line indicates the axis of symmetry at x = 3. Two points on the parabola are (1, -9) and (5, -9).

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Precalculus · 3.2절 · 77번우리말 번역

다음 연습문제에서는 이차함수의 그래프의 꼭짓점과 그래프가 열린 방향을 이용하여 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

꼭짓점 (−5,11)(-5,11), 아래로 열림.

다 풀었으면 정답 확인

정의역은 (−∞,∞)(-\infty ,\infty ) 치역은 (−∞,11].(-\infty ,11].

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