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문제 은행 · 기초 수학 · 중학 수학 · 도형의 성질

도형의 닮음

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Elementary Algebra · 8.7절 · 8번우리말 번역

ΔABC\Delta ABC 는 ΔXYZ\Delta XYZ 와 닮음입니다. 각 삼각형의 두 변의 길이가 주어져 있을 때, 세 번째 변의 길이를 구하세요.

위 그림은 닮은 두 삼각형을 보여 준다. 각 삼각형마다 두 변의 길이가 주어져 있다. 큰 삼각형은 A B C로 표시되어 있다. A에서 B까지의 길이는 4이다. B에서 C까지의 길이는 a이다. C에서 A까지의 길이는 3.2이다. 작은 삼각형은 X Y Z로 표시되어 있다. X에서 Y까지의 길이는 3이다. Y에서 Z까지의 길이는 4.5이다. Z에서 X까지의 길이는 y이다.

영어 원문 보기

ΔABC\Delta ABC is similar to ΔXYZ\Delta XYZ. The lengths of two sides of each triangle are given. Find the lengths of the third sides.

The above image shows two similar triangles. Two sides are given for each triangle. The larger triangle is labeled A B C. The length of A to B is 4. The length from B to C is a. The length from C to A is 3.2. The smaller triangle is labeled X Y Z. The length from X to Y is 3. The length from Y to Z is 4.5. The length from Z to X is y.

정답·풀이 보기
1단계. 문제를 읽는다. 그림을 그리고 주어진 정보를 표시한다. 그림이 주어져 있다.
2단계. 구하는 것을 파악한다. 닮은 삼각형의 변의 길이
3단계. 변수의 이름을 정한다.  a=\,a= ΔABC\Delta ABC 의 세 번째 변의 길이라 하자. y=y= ΔXYZ\Delta XYZ 의 세 번째 변의 길이
4단계. 식으로 나타낸다. 두 삼각형이 닮음이므로 대응하는 변은 비례한다.
구하는 변을 이미 아는 비와 비교하는 방정식을 세워야 한다. 변 AB = 4 가 변 XY = 3 에 대응하므로 ABXY=43\frac{AB}{XY}=\frac{4}{3} 임을 안다. 따라서 ABXY\frac{AB}{XY} 를 이용하여 구하는 변에 대한 방정식을 세운다. 대응하는 변을 정확히 짝지어야 함에 주의한다. ABXY=BCYZ=ACXZ.\frac{AB}{XY}=\frac{BC}{YZ}=\frac{AC}{XZ}. 닮은 삼각형에서 모르는 길이 'a'와 'y'를 구하는 식이다. 큰 삼각형과 작은 삼각형의 변의 비를 비교하여, 'a'에 대해서는 AB/XY = BC/YZ, 'y'에 대해서는 AB/XY = AC/XZ로 나타낸다.
대입한다. \quad수식에서 분수 4/3이 또 다른 분수 a/4.5와 같다. 이것은 'a'가 구해야 할 미지수인 비례식을 나타낸다. \quad수식에서 비례식을 나타내며, 3분의 4가 3.2를 y로 나눈 값과 같다.
5단계. 방정식을 푼다. \quad흰 배경 위에 3a가 4에 4.5를 곱한 값과 같음을 나타내는 방정식이 '3a = 4(4.5)'로 쓰여 있다. \quad밝은 회색 배경 위에 굵은 짙은 회색 글씨로 '4y = 3(3.2)'라는 방정식이 나타나 있다.
\quad흰 배경 위에 알아보기 쉬운 평범한 글씨체로 식 'a = 6'이 나타나 있으며, 변수 a에 6이라는 값이 대입됨을 나타낸다. \quad평범한 흰 배경 위에 깔끔하고 읽기 쉬운 글씨체로 방정식 y = 2.4가 나타나 있다.
6단계. 확인한다. 43=?64.54(4.5)=?6(3)18=18✓43=?3.22.44(2.4)=?3.2(3)9.6=9.6✓\begin{array}{cccccc} \\ \\ \begin{array}{ccc}\frac{4}{3} & \overset{?}{=} & \frac{6}{4.5} \\ 4(4.5) & \overset{?}{=} & 6(3) \\ 18 & = & 18\checkmark \end{array} & & & & & \begin{array}{ccc}\frac{4}{3} & \overset{?}{=} & \frac{3.2}{2.4} \\ 4(2.4) & \overset{?}{=} & 3.2(3) \\ 9.6 & = & 9.6\checkmark \end{array}\end{array}
7단계. 답을 쓴다. ΔABC\Delta ABC 의 세 번째 변의 길이는 6이고, ΔXYZ\Delta XYZ 의 세 번째 변의 길이는 2.4이다.
원본 교재 풀이(영어)
Step 1. Read the problem. Draw the figure and label it with the given information. Figure is given.
Step 2. Identify what we are looking for. the length of the sides of similar triangles
Step 3. Name the variables. Let  a=\,a= length of the third side of ΔABC.\Delta ABC. y=y= length of the third side of ΔXYZ\Delta XYZ
Step 4. Translate. Since the triangles are similar, the corresponding sides are proportional.
We need to write an equation that compares the side we are looking for to a known ratio. Since the side AB = 4 corresponds to the side XY = 3 we know ABXY=43\frac{AB}{XY}=\frac{4}{3}. So we write equations with ABXY\frac{AB}{XY} to find the sides we are looking for. Be careful to match up corresponding sides correctly. ABXY=BCYZ=ACXZ.\frac{AB}{XY}=\frac{BC}{YZ}=\frac{AC}{XZ}. Formulas for finding unknown lengths 'a' and 'y' in similar triangles. Compares side ratios of a large triangle to a small triangle: AB/XY = BC/YZ for 'a', and AB/XY = AC/XZ for 'y'.
Substitute. \quadA mathematical equation shows a fraction 4/3 equal to another fraction a/4.5. This represents a proportion where 'a' is an unknown variable to be solved. \quadA mathematical equation shows a proportion where four-thirds equals three point two divided by y.
Step 5. Solve the equation. \quadA mathematical equation showing 3a equals 4 multiplied by 4.5, written as '3a = 4(4.5)' on a white background. \quadA mathematical equation is displayed, showing '4y = 3(3.2)' in a bold, dark gray font against a light gray background.
\quadThe image displays the mathematical expression 'a = 6' in a plain, clear font on a white background, indicating a variable 'a' being assigned the value of six. \quadThe image displays the equation y = 2.4, presented in a clean, legible font against a plain white background.
Step 6. Check. 43=?64.54(4.5)=?6(3)18=18✓43=?3.22.44(2.4)=?3.2(3)9.6=9.6✓\begin{array}{cccccc} \\ \\ \begin{array}{ccc}\frac{4}{3} & \overset{?}{=} & \frac{6}{4.5} \\ 4(4.5) & \overset{?}{=} & 6(3) \\ 18 & = & 18\checkmark \end{array} & & & & & \begin{array}{ccc}\frac{4}{3} & \overset{?}{=} & \frac{3.2}{2.4} \\ 4(2.4) & \overset{?}{=} & 3.2(3) \\ 9.6 & = & 9.6\checkmark \end{array}\end{array}
Step 7. Answer the question. The third side of ΔABC\Delta ABC is 6 and the third side of ΔXYZ\Delta XYZ is 2.4.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Elementary Algebra · 8.7절 · 9번우리말 번역

지도에서 샌프란시스코, 라스베이거스, 로스앤젤레스는 아래 그림과 같은 변의 길이를 갖는 삼각형을 이룹니다. 로스앤젤레스에서 라스베이거스까지의 실제 거리가 270마일일 때, 로스앤젤레스에서 샌프란시스코까지의 거리를 구하세요.

위 그림은 닮은 두 삼각형과 이를 지도에 활용하는 방법을 보여 줍니다. 왼쪽의 작은 삼각형은 세 꼭짓점에 샌프란시스코, 라스베이거스, 로스앤젤레스가 있습니다. 샌프란시스코에서 로스앤젤레스까지는 1.3인치, 로스앤젤레스에서 라스베이거스까지는 1인치, 라스베이거스에서 샌프란시스코까지는 2.1인치입니다. 두 번째의 큰 삼각형도 같은 지점들을 나타냅니다. 샌프란시스코에서 로스앤젤레스까지의 거리는 x이고, 로스앤젤레스에서 라스베이거스까지의 거리는 270마일입니다. 라스베이거스에서 샌프란시스코까지의 거리는 표시되어 있지 않습니다.

다 풀었으면 정답 확인
문제를 읽고 그림을 그린 다음, 주어진 정보를 표시한다. 그림은 위와 같다.
구하려는 것이 무엇인지 파악한다. 로스앤젤레스에서 샌프란시스코까지의 실제 거리
변수에 이름을 붙인다. x=x= 로스앤젤레스에서 샌프란시스코까지의 거리라 하자.
식으로 나타낸다. 두 삼각형은 닮음이므로 대응하는 변은 비례한다. 분자는 "마일", 분모는 "인치"로 놓는다. 거리를 구하는 비례식: x마일 / 1.3인치 = 270마일 / 1인치.
방정식을 푼다. 양변에 1.3을 곱하는 방정식이 나타나 있습니다. 좌변은 1.3 곱하기 (x를 1.3으로 나눈 값)이고, 우변은 1.3 곱하기 (270을 1로 나눈 값)입니다.
흰 배경에 검은 글씨로 방정식 'x = 351'이 쓰여 있으며, 변수에 어떤 수가 대입됨을 나타냅니다.
검산한다.
지도에서 로스앤젤레스~샌프란시스코 거리는 로스앤젤레스~라스베이거스 거리보다 길다. 351이 270보다 크므로 답이 타당하다.
x=351이 비례식 x마일 / 1.3인치 = 270마일 / 1인치의 올바른 해인지 검산하는 수학 문제입니다. 계산 결과 351/1.3이 270과 같음을 확인할 수 있습니다.
질문에 답한다. 로스앤젤레스에서 샌프란시스코까지의 거리는 351마일이다.
이 문제로 이어서 풀기
# 도형의 닮음그래프·표 해석자동 분류

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