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문제 은행 · 기초 수학 · 공통수학2 · 함수와 그래프

합성함수와 역함수

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 1번우리말 번역

함수 f(x)=4x−5f(x)=4x-5 와 g(x)=2x+3g(x)=2x+3 에 대하여 ⓐ (f∘g)(x),(f\circ g)(x), ⓑ (g∘f)(x),(g\circ f)(x), ⓒ (f⋅g)(x)(f\cdot g)(x) 를 구하세요.

영어 원문 보기

For functions f(x)=4x−5f(x)=4x-5 and g(x)=2x+3,g(x)=2x+3, find: ⓐ (f∘g)(x),(f\circ g)(x), ⓑ (g∘f)(x),(g\circ f)(x), and ⓒ (f⋅g)(x).(f\cdot g)(x).

정답·풀이 보기

ⓐ
(f∘g)(x)(f\circ g)(x) 의 정의를 이용한다. 합성함수의 정의를 나타내는 그림으로, (f o g)(x)는 f(g(x))와 같다고 적혀 있다. 이 수학 표기는 한 함수의 결과에 다른 함수를 적용하는 방법을 설명한다.
흰 배경에 검은 글씨로 'g(x) 자리에 2x + 3을 대입한다'라는 글이 표시되어 있으며, '2x + 3'은 빨간 글씨로 강조되어 있다. 두 함수의 합성 (f o g)(x)를 나타내는 수학 표기로, 이는 다시 f(2x + 3)으로 표현되며 안쪽 함수 g(x)가 2x + 3임을 의미한다.
f(x) = 4x - 5일 때 f(2x + 3)을 구하는 수학 문제이다. 변수 대입을 나타내기 위해 '2x + 3'이 빨간색으로 강조되어 있고, 'f(x)'의 'x'와 '4x'도 빨간색으로 강조되어 있다. 두 함수 f와 g의 합성 (f o g)(x) = 4(2x + 3) - 5를 나타내는 수학 등식이다. 식 2x+3이 빨간색으로 강조되어 있다.
분배법칙을 적용한다. 두 함수의 합성 (f ∘ g)(x)가 식 8x + 12 - 5와 같음을 보여 주는 수학 등식이다. 이를 간단히 하면 (f ∘ g)(x) = 8x + 7이다.
간단히 한다. 합성함수의 식 (f o g)(x) = 8x + 7을 나타내는 그림이다. 여기서 'f'와 'g'는 함수이고 'o'는 그 합성을 뜻한다.

ⓑ
(f∘g)(x)(f\circ g)(x) 의 정의를 이용한다. 합성함수의 정의: (g o f)(x) = g(f(x)).
f(x) 자리에 4x - 5를 대입한다. 함수의 합성을 나타내는 그림으로, (g o f)(x)가 g(4x - 5)임을 보여 준다.
g(x) = 2x + 3일 때 g(4x - 5)를 구하세요. 함수의 합성 (g o f)(x) = 2(4x - 5) + 3을 나타내는 수학 등식으로, 4x - 5 부분이 빨간색으로 강조되어 있다.
분배법칙을 적용한다. 합성함수 (g o f)(x)가 8x - 10 + 3과 같음을 보여 주는 수학 등식이다.
간단히 한다. 두 함수의 합성 (g o f)(x)가 8x - 7과 같음을 나타내는 그림이다.

ⓐ와 ⓑ의 결과가 서로 다름에 주목한다.

ⓒ (f⋅g)(x)(f\cdot g)(x) 는 (f∘g)(x)(f\circ g)(x) 와 다름에 주목한다. ⓐ에서는 함수의 합성을 하였다. 이제 ⓒ에서는 함수를 합성하는 것이 아니라 곱한다.

정의를 이용한다: (f⋅g)(x).(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)대입한다: f(x)=4x−5 그리고 g(x)=2x+3.(f⋅g)(x)=(4x−5)⋅(2x+3)곱한다.(f⋅g)(x)=8x2+2x−15\begin{array}{cccccc}\text{정의를 이용한다:}\,(f\cdot g)(x). & & & & & (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x) \\ \text{대입한다:}\,f(x)=4x-5\,\text{그리고}\,g(x)=2x+3. & & & & & (f\cdot g)(x)=(4x-5)\cdot (2x+3) \\ \text{곱한다.} & & & & & (f\cdot g)(x)=8{x}^{2}+2x-15\end{array}

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ
Use the definition of (f∘g)(x).(f\circ g)(x). The image shows the definition of a composite function, stating that (f o g)(x) is equal to f(g(x)). This mathematical notation explains how to apply one function to the result of another function.
The text 'Substitute 2x + 3 for g(x)' is displayed in black font, with '2x + 3' highlighted in red font, against a white background. Mathematical notation demonstrating the composition of two functions, (f o g)(x), which is further expressed as f(2x + 3), implying that the inner function g(x) is equal to 2x + 3.
A mathematical problem asking to find f(2x + 3) given that f(x) = 4x - 5. The expression '2x + 3' is highlighted in red, as is the 'x' in 'f(x)' and '4x' to denote variable substitution. The image shows a mathematical equation for the composition of two functions, f and g, denoted as (f o g)(x) = 4(2x + 3) - 5. The expression 2x+3 is highlighted in red.
Distribute. A mathematical equation shows the composition of two functions, (f ∘ g)(x), which equals the expression 8x + 12 - 5. This simplifies to (f ∘ g)(x) = 8x + 7.
Simplify. The image shows the mathematical expression for a composite function, stating that (f o g)(x) = 8x + 7, where 'f' and 'g' are functions and 'o' denotes their composition.

ⓑ
Use the definition of (f∘g)(x).(f\circ g)(x). The definition of a composite function: (g o f)(x) = g(f(x)).
Substitute 4x - 5 for f(x). The image displays the composition of functions, showing (g o f)(x) as g(4x - 5).
Find g(4x - 5) where g(x) = 2x + 3. A mathematical equation showing the composition of functions (g o f)(x) = 2(4x - 5) + 3, with the term 4x - 5 highlighted in red.
Distribute. A mathematical equation shows a composite function (g o f)(x) equals 8x - 10 + 3.
Simplify. The image shows the composition of two functions (g o f)(x) equal to 8x - 7.

Notice the difference in the result in part ⓐ and part ⓑ.

ⓒ Notice that (f⋅g)(x)(f\cdot g)(x) is different than (f∘g)(x).(f\circ g)(x). In part ⓐ we did the composition of the functions. Now in part ⓒ we are not composing them, we are multiplying them.

Use the definition of (f⋅g)(x).(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)Substitute f(x)=4x−5 and g(x)=2x+3.(f⋅g)(x)=(4x−5)⋅(2x+3)Multiply.(f⋅g)(x)=8x2+2x−15\begin{array}{cccccc}\text{Use the definition of}\,(f\cdot g)(x). & & & & & (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x) \\ \text{Substitute}\,f(x)=4x-5\,\text{and}\,g(x)=2x+3. & & & & & (f\cdot g)(x)=(4x-5)\cdot (2x+3) \\ \text{Multiply.} & & & & & (f\cdot g)(x)=8{x}^{2}+2x-15\end{array}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 3번우리말 번역

순서쌍의 각 집합이 함수를 나타내는지 판단하고, 함수이면 그 함수가 일대일인지 판단하세요.

ⓐ {(−3,27),(−2,8),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)}\{(-3,27),(-2,8),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)\} 그리고 ⓑ {(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)}.\{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)\}.

다 풀었으면 정답 확인

ⓐ

{(−3,27),(−2,8),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)}\begin{array}{ccccc} & & & & \quad \{(-3,27),(-2,8),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)\}\end{array}

각 x값은 y값 하나에만 대응된다. 따라서 이 관계는 함수이다.

그러나 각 y값이 x값 하나에만 대응되는 것은 아니다. 예를 들어 (−3,27)(-3,27) 과 (3,27)(3,27) 이 그렇다. 따라서 이 함수는 일대일이 아니다.

ⓑ

{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)}\begin{array}{ccccc} & & & & \quad \{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)\}\end{array}

각 x값은 y값 하나에만 대응된다. 따라서 이 관계는 함수이다.

각 y값이 x값 하나에만 대응되므로 이 함수는 일대일이다.

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# 합성함수와 역함수계산자동 분류

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