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문제 은행 · 기초 수학 · 공통수학2 · 함수와 그래프

합성함수와 역함수

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 3번우리말 번역

순서쌍의 각 집합이 함수를 나타내는지 판단하고, 함수이면 그 함수가 일대일인지 판단하세요.

ⓐ {(−3,27),(−2,8),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)}\{(-3,27),(-2,8),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)\} 그리고 ⓑ {(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)}.\{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)\}.

영어 원문 보기

For each set of ordered pairs, determine if it represents a function and, if so, if the function is one-to-one.

ⓐ {(−3,27),(−2,8),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)}\{(-3,27),(-2,8),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)\} and ⓑ {(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)}.\{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)\}.

정답·풀이 보기

ⓐ

{(−3,27),(−2,8),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)}\begin{array}{ccccc} & & & & \quad \{(-3,27),(-2,8),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)\}\end{array}

각 x값은 y값 하나에만 대응된다. 따라서 이 관계는 함수이다.

그러나 각 y값이 x값 하나에만 대응되는 것은 아니다. 예를 들어 (−3,27)(-3,27) 과 (3,27)(3,27) 이 그렇다. 따라서 이 함수는 일대일이 아니다.

ⓑ

{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)}\begin{array}{ccccc} & & & & \quad \{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)\}\end{array}

각 x값은 y값 하나에만 대응된다. 따라서 이 관계는 함수이다.

각 y값이 x값 하나에만 대응되므로 이 함수는 일대일이다.

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ

{(−3,27),(−2,8),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)}\begin{array}{ccccc} & & & & \quad \{(-3,27),(-2,8),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)\}\end{array}

Each x-value is matched with only one y-value. So this relation is a function.

But each y-value is not paired with only one x-value, (−3,27)(-3,27) and (3,27),(3,27), for example. So this function is not one-to-one.

ⓑ

{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)}\begin{array}{ccccc} & & & & \quad \{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)\}\end{array}

Each x-value is matched with only one y-value. So this relation is a function.

Since each y-value is paired with only one x-value, this function is one-to-one.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 2번우리말 번역

함수 f(x)=x2−4f(x)={x}^{2}-4 와 g(x)=3x+2g(x)=3x+2 에 대하여 ⓐ (f∘g)(−3),(f\circ g)(-3), ⓑ (g∘f)(−1),(g\circ f)(-1), ⓒ (f∘f)(2)(f\circ f)(2) 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

ⓐ
(f∘g)(−3)(f\circ g)(-3) 의 정의를 이용한다. 두 함수 f와 g의 합성을 나타내는 수학 식이다. -3에서의 값을 나타내는 표기 (f o g)(-3)이 f(g(-3))과 같다고 분명하게 보여 준다.
g(x) = 3x + 2일 때, x = -3에서 함수 g의 값을 구하라는 수학 문제가 나타난 이미지이다. 합성함수 (f o g)(-3)을 f(3 * (-3) + 2)로 전개한 수학 등식이다. 전개한 식에서 -3이 빨간색으로 강조되어 있어 계산에서 이 수가 하는 역할을 나타낸다.
간단히 하세요. f와 g의 합성을 -3에서 계산한 값이 f를 -7에서 계산한 값과 같음을, 즉 (f ∘ g)(-3) = f(-7)로 나타낸 수학 등식이다.
'f(x) = x^2 - 4일 때, f(-7)을 구하세요.'라는 수학 문제가 나타난 이미지이다. 합성함수를 나타내는 수학 식 (f o g)(-3) = (-7)^2 - 4가 나타난 이미지이다. -7이 빨간색으로 강조되어 있어 대입 또는 계산의 중간 단계임을 나타낸다.
간단히 하세요. 합성함수를 나타내는 수학 식 (f o g)(-3) = 45가 나타난 이미지이다.

ⓑ
(g∘f)(−1)(g\circ f)(-1) 의 정의를 이용한다. 합성함수 표기로, -1에서 (g와 f의 합성)의 값이 f(-1)에서의 g의 값, 즉 g(f(-1))과 같음을 나타낸다.
함수 f(x) = x^2 - 4가 주어졌을 때 f(-1)의 값을 구하라는 수학 문제이다. 흰 배경 위의 글씨가 선명하게 읽힌다. 함수의 합성을 보여 주는 수학 등식으로, -1에서 (g와 f의 합성)의 값이 식 (-1)^2 - 4에서의 g의 값, 즉 g((-1)^2 - 4)가 됨을 나타낸다. 지수 부분의 -1이 강조되어 있다.
간단히 하세요. 두 함수의 합성을 나타내는 수학 등식 (g o f)(-1) = g(-3)이다.
'g(x) = 3x + 2일 때, g(-3)을 구하세요.'라는 수학 문제이다. -3과 g(x), 3x에 있는 변수 x가 빨간색으로 강조되어 있다. 합성함수의 값을 계산하는 수학 등식 (g f)(-1) = 3(-3) + 2가 나타난 이미지이다. -3이 빨간색으로 강조되어 있다.
간단히 하세요. 두 함수의 합성을 나타내는 수학 식 (g o f)(-1) = -7이다. 흰 배경에 검은 글씨로 쓰여 있으며, 함수의 값을 계산한 결과가 음의 정수임을 나타낸다.

ⓒ
(f∘f)(2)(f\circ f)(2) 의 정의를 이용한다. (f o f)(2) = f(f(2))가 나타나 있으며, 함수 f를 자기 자신과 합성하여 x=2에서 계산한 것을 보여 준다.
함수 f(x) = x^2 - 4가 주어졌을 때 f(2)의 값을 구하라는 수학 문제이다. 2와 f(x)에 있는 변수 x가 빨간색으로 강조되어 있다. 합성함수 (f o f)(2)가 f(2^2 - 4)와 같음을 나타내는 수학 등식이다. 2^2의 지수 2가 빨간색으로 강조되어 있어 식의 특정 부분을 가리킨다.
간단히 하세요. 함수를 자기 자신과 합성하여 2에서 계산한 값이 0에서의 함수의 값과 같음을, 즉 (f o f)(2) = f(0)으로 나타낸 수학 등식이다.
'f(x) = x^2 - 4일 때, f(0)을 구하세요.'라는 수학 문제가 나타난 이미지이다. 함수를 자기 자신과 합성하여 2에서 계산한 값 (f o f)(2)가 0의 제곱에서 4를 뺀 값, 즉 0^2 - 4와 같다고 나타낸 수학 등식이다. 0이 빨간색으로 강조되어 있다.
간단히 하세요. (f o f)(2) = -4라는 수학 식이 나타나 있다. 이는 합성함수 f(f(x))를 2에서 계산한 값이 -4임을 나타낸다. 표기가 선명하며 가운데에 놓여 있다.
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# 합성함수와 역함수계산자동 분류

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