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문제 은행 · 기초 수학 · 공통수학2 · 함수와 그래프

합성함수와 역함수

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 2번우리말 번역

함수 f(x)=x2−4f(x)={x}^{2}-4 와 g(x)=3x+2g(x)=3x+2 에 대하여 ⓐ (f∘g)(−3),(f\circ g)(-3), ⓑ (g∘f)(−1),(g\circ f)(-1), ⓒ (f∘f)(2)(f\circ f)(2) 를 구하세요.

영어 원문 보기

For functions f(x)=x2−4,f(x)={x}^{2}-4, and g(x)=3x+2,g(x)=3x+2, find: ⓐ (f∘g)(−3),(f\circ g)(-3), ⓑ (g∘f)(−1),(g\circ f)(-1), and ⓒ (f∘f)(2).(f\circ f)(2).

정답·풀이 보기

ⓐ
(f∘g)(−3)(f\circ g)(-3) 의 정의를 이용한다. 두 함수 f와 g의 합성을 나타내는 수학 식이다. -3에서의 값을 나타내는 표기 (f o g)(-3)이 f(g(-3))과 같다고 분명하게 보여 준다.
g(x) = 3x + 2일 때, x = -3에서 함수 g의 값을 구하라는 수학 문제가 나타난 이미지이다. 합성함수 (f o g)(-3)을 f(3 * (-3) + 2)로 전개한 수학 등식이다. 전개한 식에서 -3이 빨간색으로 강조되어 있어 계산에서 이 수가 하는 역할을 나타낸다.
간단히 하세요. f와 g의 합성을 -3에서 계산한 값이 f를 -7에서 계산한 값과 같음을, 즉 (f ∘ g)(-3) = f(-7)로 나타낸 수학 등식이다.
'f(x) = x^2 - 4일 때, f(-7)을 구하세요.'라는 수학 문제가 나타난 이미지이다. 합성함수를 나타내는 수학 식 (f o g)(-3) = (-7)^2 - 4가 나타난 이미지이다. -7이 빨간색으로 강조되어 있어 대입 또는 계산의 중간 단계임을 나타낸다.
간단히 하세요. 합성함수를 나타내는 수학 식 (f o g)(-3) = 45가 나타난 이미지이다.

ⓑ
(g∘f)(−1)(g\circ f)(-1) 의 정의를 이용한다. 합성함수 표기로, -1에서 (g와 f의 합성)의 값이 f(-1)에서의 g의 값, 즉 g(f(-1))과 같음을 나타낸다.
함수 f(x) = x^2 - 4가 주어졌을 때 f(-1)의 값을 구하라는 수학 문제이다. 흰 배경 위의 글씨가 선명하게 읽힌다. 함수의 합성을 보여 주는 수학 등식으로, -1에서 (g와 f의 합성)의 값이 식 (-1)^2 - 4에서의 g의 값, 즉 g((-1)^2 - 4)가 됨을 나타낸다. 지수 부분의 -1이 강조되어 있다.
간단히 하세요. 두 함수의 합성을 나타내는 수학 등식 (g o f)(-1) = g(-3)이다.
'g(x) = 3x + 2일 때, g(-3)을 구하세요.'라는 수학 문제이다. -3과 g(x), 3x에 있는 변수 x가 빨간색으로 강조되어 있다. 합성함수의 값을 계산하는 수학 등식 (g f)(-1) = 3(-3) + 2가 나타난 이미지이다. -3이 빨간색으로 강조되어 있다.
간단히 하세요. 두 함수의 합성을 나타내는 수학 식 (g o f)(-1) = -7이다. 흰 배경에 검은 글씨로 쓰여 있으며, 함수의 값을 계산한 결과가 음의 정수임을 나타낸다.

ⓒ
(f∘f)(2)(f\circ f)(2) 의 정의를 이용한다. (f o f)(2) = f(f(2))가 나타나 있으며, 함수 f를 자기 자신과 합성하여 x=2에서 계산한 것을 보여 준다.
함수 f(x) = x^2 - 4가 주어졌을 때 f(2)의 값을 구하라는 수학 문제이다. 2와 f(x)에 있는 변수 x가 빨간색으로 강조되어 있다. 합성함수 (f o f)(2)가 f(2^2 - 4)와 같음을 나타내는 수학 등식이다. 2^2의 지수 2가 빨간색으로 강조되어 있어 식의 특정 부분을 가리킨다.
간단히 하세요. 함수를 자기 자신과 합성하여 2에서 계산한 값이 0에서의 함수의 값과 같음을, 즉 (f o f)(2) = f(0)으로 나타낸 수학 등식이다.
'f(x) = x^2 - 4일 때, f(0)을 구하세요.'라는 수학 문제가 나타난 이미지이다. 함수를 자기 자신과 합성하여 2에서 계산한 값 (f o f)(2)가 0의 제곱에서 4를 뺀 값, 즉 0^2 - 4와 같다고 나타낸 수학 등식이다. 0이 빨간색으로 강조되어 있다.
간단히 하세요. (f o f)(2) = -4라는 수학 식이 나타나 있다. 이는 합성함수 f(f(x))를 2에서 계산한 값이 -4임을 나타낸다. 표기가 선명하며 가운데에 놓여 있다.
원본 교재 풀이(영어)

ⓐ
Use the definition of (f∘g)(−3).(f\circ g)(-3). A mathematical expression showing the composition of two functions, f and g, evaluated at -3. The notation (f o g)(-3) is explicitly shown to be equal to f(g(-3)).
The image displays a mathematical problem asking to find the value of the function g at x = -3, given that g(x) = 3x + 2. A mathematical equation shows the composition of functions (f o g)(-3) expanded as f(3 * (-3) + 2). The number -3 is highlighted in red within the expanded expression, indicating its role in the calculation.
Simplify. A mathematical equation showing the composition of functions, stating that (f composed with g) evaluated at -3 is equal to f evaluated at -7, written as (f ∘ g)(-3) = f(-7).
The image shows a mathematical problem that asks to 'Find f(-7) where f(x) = x^2 - 4.' The image shows the mathematical expression for a composite function: (f o g)(-3) = (-7)^2 - 4. The value -7 is highlighted in red, indicating a substitution or an intermediate step in the calculation.
Simplify. The image shows the mathematical expression for a composite function: (f o g)(-3) = 45.

ⓑ
Use the definition of (g∘f)(−1).(g\circ f)(-1). Composite function notation showing that (g composed with f) of negative 1 equals g of f of negative 1.
A mathematics problem asks to find the value of f(-1) given the function f(x) = x^2 - 4. The text is clear and readable on a white background. A mathematical equation demonstrating function composition, (g composed with f) at -1, which simplifies to g evaluated at the expression (-1)^2 - 4. The -1 in the exponent is highlighted.
Simplify. A mathematical equation showing the composition of two functions, (g o f)(-1) = g(-3).
A math problem states: 'Find g(-3) where g(x) = 3x + 2.' The number -3 and the variable x in g(x) and 3x are highlighted in red. The image shows the mathematical equation for a composite function evaluation, specifically (g f)(-1) = 3(-3) + 2, where -3 is highlighted in red.
Simplify. A mathematical expression showing the composition of two functions: (g o f)(-1) = -7. The expression is rendered in black text on a white background, representing a function evaluation resulting in a negative integer.

ⓒ
Use the definition of (f∘f)(2).(f\circ f)(2). (f o f)(2) = f(f(2)) is shown, illustrating the composition of function f with itself, evaluated at x=2.
A mathematical problem asking to find the value of f(2) given the function f(x) = x^2 - 4. The number 2 and the variable x in f(x) are highlighted in red. A mathematical equation shows the composite function (f o f)(2) is equal to f(2^2 - 4). The number 2 in the exponent of 2^2 is highlighted in red, indicating a specific part of the expression.
Simplify. A mathematical equation shows the composition of a function with itself evaluated at 2, equaling the function evaluated at 0: (f o f)(2) = f(0).
The image shows the mathematical problem: Find f(0) where f(x) = x^2 - 4. A mathematical equation showing the composition of a function with itself evaluated at 2, setting (f o f)(2) equal to 0 squared minus 4. The number 0 is highlighted in red.
Simplify. A mathematical expression reads (f o f)(2) = -4, representing the composite function f of f evaluated at 2 equals -4. The notation is clear and centrally positioned.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 5번우리말 번역

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다 풀었으면 정답 확인

모든 xx 값이 정확히 하나의 yy 값과 짝을 이루므로 이 함수는 일대일 함수이다.

역함수를 구하려면 함수의 순서쌍에서 xx 값과 yy 값을 서로 바꾼다.
함수 {(0,3),(1,5),(2,7),(3,9)}\{(0,3),(1,5),(2,7),(3,9)\}
역함수 {(3,0),(5,1),(7,2),(9,3)}\{(3,0),(5,1),(7,2),(9,3)\}
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# 합성함수와 역함수계산자동 분류

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