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문제 은행 · 기초 수학 · 공통수학2 · 함수와 그래프

합성함수와 역함수

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 7번우리말 번역

f(x)=5x−1f(x)=5x-1 과 g(x)=x+15g(x)=\frac{x+1}{5} 이 서로 역함수임을 확인하세요.

영어 원문 보기

Verify that f(x)=5x−1f(x)=5x-1 and g(x)=x+15g(x)=\frac{x+1}{5} are inverse functions.

정답·풀이 보기

g(f(x))=xg(f(x))=x 이고 f(g(x))=xf(g(x))=x 이면 두 함수는 서로 역함수이다.
식 g(f(x)) =? x 로 g와 f가 서로 역함수인지 확인하고 있다.
f(x)f(x) 에 5x−15x-1 을 대입한다. 흰 배경에 검은 글씨로 쓴 수학 등식 g(5x - 1) =? x 가 보인다. 등호 위의 물음표는 이 등식이 성립하는지 묻는 질문 또는 가설임을 나타낸다.
함수 g(x) = (x + 1)/5 가 주어졌을 때 g(5x - 1) 의 식을 구하는 수학 문제이다. 원래 함수의 정의에서 변수 'x' 는 빨간색으로 강조되어 있다. 식 ((5x - 1) + 1) / 5 가 x 와 같은지 알아보는 수학 등식이다. 등호 위에 물음표가 있어 같은지 묻고 있음을 나타낸다.
간단히 한다. 5x를 5로 나눈 식, 등호 위의 물음표, 그리고 변수 x가 차례로 나와 있는 수학 등식이다. 5x/5 가 x 와 같은지 묻고 있다.
간단히 한다. 논리와 수학의 기본 원리인 'X=X' 가 확인 표시와 함께 나와 있으며, 이것이 자명하게 참임을 강조한다.
두 함수의 합성 f(g(x)) 가 x 와 같은지 묻는 수학 식이다. 이 설정은 f와 g가 서로 역함수인지 판단하는 데 쓰인다.
g(x)g(x) 에 x+15\frac{x+1}{5} 을 대입한다. 흰 배경에 수학 등식이 나와 있다. 'f(x+1)/5' 가 'x' 와 같다고 쓰여 있다.
f(x) = 5x - 1 일 때 함숫값 f((x+1)/5) 를 구하는 수학 문제이다. 함수 f의 입력값은 분수로 나타나 있으며, 분자 'x+1' 과 분모 '5' 가 빨간색이다. 이 그림에는 방정식 5((x+1)/5) - 1 =? x 가 나와 있다. 간단히 하면 5가 약분되어 (x+1) - 1 이 되고, 이는 x 와 같다. 따라서 x = x 는 참이므로 이 등식은 성립한다.
간단히 한다. 수학 등식 'x + 1 - 1 = x' 가 나와 있고, 등호 위에 물음표가 있어 이 등식이 참인지 거짓인지 묻고 있다.
간단히 한다. 확인 표시와 함께 등식 X = X 가 나와 있으며, 올바르거나 자명한 명제를 상징한다.

g(f(x))=xg(f(x))=x 와 f(g(x))=xf(g(x))=x 가 모두 참이므로 두 함수 f(x)=5x−1f(x)=5x-1 과 g(x)=x+15g(x)=\frac{x+1}{5} 은 역함수이다. 즉, 서로 상대의 역함수이다.

원본 교재 풀이(영어)

The functions are inverses of each other if g(f(x))=xg(f(x))=x and f(g(x))=x.f(g(x))=x.
Checking if g and f are inverse functions with the expression g(f(x)) =? x.
Substitute 5x−15x-1 for f(x).f(x). The image shows a mathematical equation in black text on a white background: g(5x - 1) =? x. The question mark above the equals sign indicates that the equation is being posed as a question or hypothesis.
A mathematical problem asks to find the expression for g(5x - 1) given the function g(x) = (x + 1)/5, with the variable 'x' highlighted in red in the original function definition. A mathematical equation where the expression ((5x - 1) + 1) / 5 is being evaluated to see if it equals x, indicated by a question mark over the equals sign.
Simplify. A mathematical equation shows 5x divided by 5, followed by a question mark over an equals sign, and then the variable x, asking if 5x/5 equals x.
Simplify. A basic principle of logic and mathematics, 'X=X', is shown with a checkmark, emphasizing its self-evident truth.
A mathematical expression showing the composition of two functions, f(g(x)), questioning if it equals x. This setup is used to determine if f and g are inverse functions.
Substitute x+15\frac{x+1}{5} for g(x).g(x). A mathematical equation is displayed on a white background. It shows 'f(x+1)/5' equals 'x'.
A mathematical problem asks to find the value of the function f((x+1)/5) given that f(x) = 5x - 1. The input to the function f is shown as a fraction with 'x+1' in red in the numerator and '5' in red in the denominator. The image displays the equation 5((x+1)/5) - 1 =? x. Upon simplification, the 5s cancel out, resulting in (x+1) - 1, which equals x. Thus, the statement x = x is true, making the equation valid.
Simplify. A mathematical equation 'x + 1 - 1 = x' is displayed, with a question mark placed above the equals sign, posing whether the equality is true or false.
Simplify. The equation X = X with a checkmark, symbolizing a correct or self-evident statement.

Since both g(f(x))=xg(f(x))=x and f(g(x))=xf(g(x))=x are true, the functions f(x)=5x−1f(x)=5x-1 and g(x)=x+15g(x)=\frac{x+1}{5} are inverse functions. That is, they are inverses of each other.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Precalculus · 1.4절 · 9번우리말 번역

f(x)=3x2f(x)=3{x}^{2} 와 g(x)=x−5g(x)=\sqrt{x-5} 에 대하여 f+g, f−g, fgf+g,\,f-g,\,fg, 그리고 fg\frac{f}{g} 를 구하세요. 각 함수의 정의역을 구간 표기로 나타내세요.

다 풀었으면 정답 확인

(f+g)(x)=3x2+x−5(f+g)(x)=3{x}^{2}+\sqrt{x-5}, 정의역: [5,∞)[5,\infty )

(f−g)(x)=3x2−x−5(f-g)(x)=3{x}^{2}-\sqrt{x-5}, 정의역: [5,∞)[5,\infty )

(fg)(x)=3x2x−5(fg)(x)=3{x}^{2}\sqrt{x-5}, 정의역: [5,∞)[5,\infty )

(fg)(x)=3x2x−5\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{3{x}^{2}}{\sqrt{x-5}}, 정의역: (5,∞)(5,\infty )

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