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문제 은행 · 기초 수학 · 공통수학2 · 함수와 그래프

합성함수와 역함수

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 9번우리말 번역

f(x)=2x−35f(x)=\sqrt[5]{2x-3} 의 역함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the inverse of f(x)=2x−35.f(x)=\sqrt[5]{2x-3}.

정답·풀이 보기
f(x)=2x−35f(x)=\sqrt[5]{2x-3}\quad
f(x)f(x) 대신 yy를 대입한다. y=2x−35y=\sqrt[5]{2x-3}\quad
변수 xx와 yy를 서로 바꾼다. x=2y−35x=\sqrt[5]{2y-3}\quad
yy에 대해 푼다. (x)5=(2y−35)5{(x)}^{5}={\left(\sqrt[5]{2y-3}\right)}^{5}\quad
x5=2y−3{x}^{5}=2y-3\quad
x5+3=2y{x}^{5}+3=2y\quad
x5+32=y\frac{{x}^{5}+3}{2}=y\quad
yy 대신 f−1(x){f}^{-1}(x)를 대입한다. f−1(x)=x5+32{f}^{-1}(x)=\frac{{x}^{5}+3}{2}\quad
두 함수가 서로 역함수임을 확인한다.
f−1(f(x))=?x{f}^{-1}(f(x))\overset{?}{=}x\quad f(f−1(x))=?xf({f}^{-1}(x))\overset{?}{=}x\quad
f−1(2x−35)=?x{f}^{-1}\left(\sqrt[5]{2x-3}\right)\overset{?}{=}x\quad f(x5+32)=?xf\left(\frac{{x}^{5}+3}{2}\right)\overset{?}{=}x\quad
(2x−35)5+32=?x\frac{{\left(\sqrt[5]{2x-3}\right)}^{5}+3}{2}\overset{?}{=}x\quad 2(x5+32)−35=?x\sqrt[5]{2\left(\frac{{x}^{5}+3}{2}\right)-3}\overset{?}{=}x\quad
2x−3+32=?x\frac{2x-3+3}{2}\overset{?}{=}x\quad x5+3−35=?x\sqrt[5]{{x}^{5}+3-3}\overset{?}{=}x\quad
2x2=?x\frac{2x}{2}\overset{?}{=}x\quad x55=?x\sqrt[5]{{x}^{5}}\overset{?}{=}x\quad
x=x✓x=x\checkmark \quad x=x✓x=x\checkmark \quad
원본 교재 풀이(영어)
f(x)=2x−35f(x)=\sqrt[5]{2x-3}\quad
Substitute yy for f(x)f(x). y=2x−35y=\sqrt[5]{2x-3}\quad
Interchange the variables xx and yy. x=2y−35x=\sqrt[5]{2y-3}\quad
Solve for yy. (x)5=(2y−35)5{(x)}^{5}={\left(\sqrt[5]{2y-3}\right)}^{5}\quad
x5=2y−3{x}^{5}=2y-3\quad
x5+3=2y{x}^{5}+3=2y\quad
x5+32=y\frac{{x}^{5}+3}{2}=y\quad
Substitute f−1(x){f}^{-1}(x) for yy. f−1(x)=x5+32{f}^{-1}(x)=\frac{{x}^{5}+3}{2}\quad
Verify that the functions are inverses.
f−1(f(x))=?x{f}^{-1}(f(x))\overset{?}{=}x\quad f(f−1(x))=?xf({f}^{-1}(x))\overset{?}{=}x\quad
f−1(2x−35)=?x{f}^{-1}\left(\sqrt[5]{2x-3}\right)\overset{?}{=}x\quad f(x5+32)=?xf\left(\frac{{x}^{5}+3}{2}\right)\overset{?}{=}x\quad
(2x−35)5+32=?x\frac{{\left(\sqrt[5]{2x-3}\right)}^{5}+3}{2}\overset{?}{=}x\quad 2(x5+32)−35=?x\sqrt[5]{2\left(\frac{{x}^{5}+3}{2}\right)-3}\overset{?}{=}x\quad
2x−3+32=?x\frac{2x-3+3}{2}\overset{?}{=}x\quad x5+3−35=?x\sqrt[5]{{x}^{5}+3-3}\overset{?}{=}x\quad
2x2=?x\frac{2x}{2}\overset{?}{=}x\quad x55=?x\sqrt[5]{{x}^{5}}\overset{?}{=}x\quad
x=x✓x=x\checkmark \quad x=x✓x=x\checkmark \quad

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 8번우리말 번역

f(x)=4x+7f(x)=4x+7 의 역함수를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

1단계는 f(x) 를 y 로 바꾸어 쓰는 것이다. 이를 위해 f(x) 를 y 로 대체한다. 따라서 f(x) 는 4x 더하기 7과 같다는 식은 y 는 4x 더하기 7과 같다는 식이 된다.

2단계는 변수 x 와 y 를 서로 바꾸는 것이다. 이를 위해 x 를 y 로 바꾸고, 그다음 y 를 x 로 바꾼다. 따라서 x 는 4y 더하기 7과 같다는 식을 얻는다.

3단계는 y 에 대해 푸는 것이다. 이를 위해 양변에서 7을 빼고 4로 나눈다. 따라서 x 빼기 7은 4y와 같고, 이어서 x 빼기 7을 4로 나눈 값은 y 와 같다.

4단계는 y 를 f 의 역함수 x 에서의 값, 즉 f 위 첨자 마이너스 1의 x 로 바꾸어 쓰는 것이다. 이를 위해 y 를 f 위 첨자 마이너스 1의 x 로 대체한다. 따라서 x 빼기 7을 4로 나눈 값은 f 위 첨자 마이너스 1의 x 와 같다.

5단계는 두 함수가 서로 역함수인지 확인하는 것이다. 이를 위해 f 위 첨자 마이너스 1의 f(x) 가 x 와 같고, f 의 f 위 첨자 마이너스 1의 x 도 x 와 같음을 보인다. 먼저 f 의 역함수의 4x 더하기 7에서의 값이 x 와 같은지 묻는다. 이는 4x 더하기 7 빼기 7을 모두 4로 나눈 값이 x 와 같은지의 문제가 된다. 이는 4x를 4로 나눈 값이 x 와 같은지의 문제가 된다. 이는 참이다. 반대쪽을 보이기 위해 f 의 f 의 역함수 x 에서의 값이 x 와 같은지 살펴본다. 이는 f 의 x 빼기 7을 4로 나눈 값에서의 값이 x 와 같은지의 문제가 된다. 이는 4 곱하기 x 빼기 7을 4로 나눈 값이 x 와 같은지의 문제가 된다. 이는 x 빼기 7 더하기 7이 x 와 같은지의 문제가 된다. 이는 참이다.

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# 합성함수와 역함수계산자동 분류

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