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연립일차방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 4.3절 · 7번우리말 번역

웨이트 트레이닝 벤치를 만드는 제조업체는 벤치 한 개를 만드는 데 $105를 쓰고, 이를 $245에 판매합니다. 이 제조업체는 또한 매달 고정비용 $7,000가 듭니다.

ⓐ 벤치를 x개 생산할 때의 비용함수 C를 구하세요.

ⓑ 벤치를 x개 판매할 때의 수입함수 R을 구하세요.

ⓒ 수입함수와 비용함수의 그래프를 같은 좌표평면 위에 그려서 손익분기점을 나타내세요.

ⓓ 손익분기점을 구하세요. 손익분기점이 무엇을 뜻하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

The manufacturer of a weight training bench spends $105 to build each bench and sells them for $245. The manufacturer also has fixed costs each month of $7,000.

ⓐ Find the cost function C when x benches are manufactured.

ⓑ Find the revenue function R when x benches are sold.

ⓒ Show the break-even point by graphing both the Revenue and Cost functions on the same grid.

ⓓ Find the break-even point. Interpret what the break-even point means.

정답·풀이 보기

ⓐ 이 제조업체는 웨이트 트레이닝 벤치를 몇 개 생산하든 고정비용 $7,000가 든다. 고정비용 외에도 벤치 한 개를 생산하는 데 $105를 쓴다. 벤치 x개가 판매된다고 하자.
일반적인 비용함수의 식을 쓴다. C(x)=(단위당 비용)⋅x+고정비용C(x)=(\text{단위당 비용})\cdot x+\text{고정비용}
비용 값을 대입한다. C(x)=105x+7000C(x)=105x+7000

ⓑ 이 제조업체는 웨이트 트레이닝 벤치를 한 개에 $245에 판매한다. 총수입은 단위당 수입에 판매한 개수를 곱하여 구한다.
일반적인 수입함수를 쓴다. R(x)=(단위당 판매 가격)⋅xR(x)=(\text{단위당}\,\text{판매}\,\text{가격})\cdot x
단위당 수입을 대입한다. R(x)=245xR(x)=245x

ⓒ 이것은 본질적으로 연립일차방정식이다. 손익분기점의 개념을 더 눈에 잘 보이게 하기 위해 이 연립방정식의 그래프를 나타낸다.

{C(x)=105x+7000R(x)=245x또는{y=105x+7000y=245x\left\{\begin{array}{l}C(x)=105x+7000 \\ R(x)=245x\end{array}\right.\quad \text{또는}\quad \left\{\begin{array}{l}y=105x+7000 \\ y=245x\end{array}\right.

그림은 서로 만나는 두 직선의 그래프를 보여 준다. 그중 한 직선은 원점을 지난다.

ⓓ 실제 값을 구하기 위해, 손익분기점은 비용과 수입이 같을 때 생긴다는 점을 떠올린다.
손익분기 식을 쓴다. C(x)=R(x)105x+7000=245x\begin{array}{ccc}C(x) & = & R(x) \\ 105x+7000 & = & 245x\end{array}
푼다. 7000=140x50=x\quad \begin{array}{ccc}7000 & = & 140x \\ 50 & = & x\end{array}

벤치가 50개 판매되면 비용과 수입이 같다.

C(x)는 105x 더하기 7000이다. C(50)은 105 곱하기 50 더하기 7000이며, 이는 12250과 같다. R(x)는 245x이다. R(50)은 245 곱하기 50이며, 이는 12250이다.

벤치가 50개 판매되면 수입과 비용은 모두 $12,250이다. 이는 순서쌍 (50,12,250)(50,12,250) 에 해당함에 주목한다.

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ The manufacturer has $7,000 of fixed costs no matter how many weight training benches it produces. In addition to the fixed costs, the manufacturer also spends $105 to produce each bench. Suppose x benches are sold.
Write the general Cost function formula. C(x)=(cost per unit)⋅x+fixed costsC(x)=(\text{cost per unit})\cdot x+\text{fixed costs}
Substitute in the cost values. C(x)=105x+7000C(x)=105x+7000

ⓑ The manufacturer sells each weight training bench for $245. We get the total revenue by multiplying the revenue per unit times the number of units sold.
Write the general Revenue function. R(x)=(selling price per unit)⋅xR(x)=(\text{selling}\,\text{price}\,\text{per}\,\text{unit})\cdot x
Substitute in the revenue per unit. R(x)=245xR(x)=245x

ⓒ Essentially we have a system of linear equations. We will show the graph of the system as this helps make the idea of a break-even point more visual.

{C(x)=105x+7000R(x)=245xor{y=105x+7000y=245x\left\{\begin{array}{l}C(x)=105x+7000 \\ R(x)=245x\end{array}\right.\quad \text{or}\quad \left\{\begin{array}{l}y=105x+7000 \\ y=245x\end{array}\right.

Figure shows a graph with two intersecting lines. One of them passes through the origin.

ⓓ To find the actual value, we remember the break-even point occurs when costs equal revenue.
Write the break-even formula. C(x)=R(x)105x+7000=245x\begin{array}{ccc}C(x) & = & R(x) \\ 105x+7000 & = & 245x\end{array}
Solve. 7000=140x50=x\quad \begin{array}{ccc}7000 & = & 140x \\ 50 & = & x\end{array}

When 50 benches are sold, the costs equal the revenue.

C of x is 105x plus 7000. C of 50 is 105 times 50 plus 7000, which is equal to 12250. R of x is 245x. R of 50 is 245 times 50, which is 12250.

When 50 benches are sold, the revenue and costs are both $12,250. Notice this corresponds to the ordered pair (50,12,250).(50,12,250).

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 11.2절 · 39번우리말 번역

다음 문제에서 가우스 소거법으로 각 연립방정식을 푸세요.

1.1x+0.7y−3.1z=−1.792.1x+0.5y−1.6z=−0.130.5x+0.4y−0.5z=−0.07\begin{array}{c}1.1x+0.7y-3.1z=-1.79 \\ 2.1x+0.5y-1.6z=-0.13 \\ 0.5x+0.4y-0.5z=-0.07\end{array}

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(12,15,45)\left(\frac{1}{2},\frac{1}{5},\frac{4}{5}\right)

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