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문제 은행 · 기초 수학 · 공통수학1 · 다항식

인수분해

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 6.2절 · 13번우리말 번역

치환을 이용하여 인수분해하세요: x4−4x2−5.{x}^{4}-4{x}^{2}-5.

영어 원문 보기

Factor by substitution: x4−4x2−5.{x}^{4}-4{x}^{2}-5.

정답·풀이 보기

가운데 항의 변수 부분은 x2{x}^{2} 이고, 그 제곱인 x4{x}^{4} 는 첫째 항의 변수 부분이다. ((x2)2=x4{({x}^{2})}^{2}={x}^{4} 임을 안다.) u=x2u={x}^{2} 으로 놓으면, 이 삼항식을 인수분해에 필요한 ax2+bx+ca{x}^{2}+bx+c 꼴로 나타낼 수 있다.
'x의 4제곱 빼기 4x의 제곱 빼기 5'라고 읽는 수식이다.
치환을 준비하기 위해 삼항식을 다시 쓴다. x의 제곱에 대한 이차식 (x^2)^2 - 4(x^2) - 5를 나타낸 수식이다. 'x^2' 항이 빨간색으로 강조되어 있다.
u=x2u={x}^{2} 으로 놓고 치환한다. u의 제곱 빼기 4u 빼기 5를 나타낸 수식이다. 'u'는 붉은색이고 숫자와 빼기 기호는 회색 또는 검은색이다.
삼항식을 인수분해한다. 두 이항식의 곱을 나타내는 수식 (u+1)(u-5)가 나타나 있다.
u 를 x2{x}^{2} 으로 바꾼다. x의 제곱을 포함한 두 이항식의 곱을 나타내는 수식 (x^2 + 1)(x^2 - 5)가 나타나 있다.
확인: (x2+1)(x2−5)x4−5x2+x2−5x4−4x2−5✓\quad \begin{array}{c}({x}^{2}+1)({x}^{2}-5) \\ {x}^{4}-5{x}^{2}+{x}^{2}-5 \\ {x}^{4}-4{x}^{2}-5\checkmark \end{array}
원본 교재 풀이(영어)

The variable part of the middle term is x2{x}^{2} and its square, x4,{x}^{4}, is the variable part of the first term. (We know (x2)2=x4).{({x}^{2})}^{2}={x}^{4}). If we let u=x2,u={x}^{2}, we can put our trinomial in the ax2+bx+ca{x}^{2}+bx+c form we need to factor it.
A mathematical expression reads 'x to the power of 4 minus 4x squared minus 5'.
Rewrite the trinomial to prepare for the substitution. A mathematical expression showing a quadratic in terms of x squared: (x^2)^2 - 4(x^2) - 5. The 'x^2' terms are highlighted in red.
Let u=x2u={x}^{2} and substitute. The image shows the mathematical expression u squared minus 4u minus 5, with the 'u' characters in a reddish hue and the numbers and minus signs in grey/black.
Factor the trinomial. The mathematical expression (u+1)(u-5) is shown, representing the product of two binomials.
Replace u with x2.{x}^{2}. The image displays the mathematical expression (x^2 + 1)(x^2 - 5), which represents the product of two binomials involving x squared.
Check: (x2+1)(x2−5)x4−5x2+x2−5x4−4x2−5✓\quad \begin{array}{c}({x}^{2}+1)({x}^{2}-5) \\ {x}^{4}-5{x}^{2}+{x}^{2}-5 \\ {x}^{4}-4{x}^{2}-5\checkmark \end{array}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 6.2절 · 10번우리말 번역

시행착오법을 이용하여 완전히 인수분해하세요: −10y4−55y3−60y2.-10{y}^{4}-55{y}^{3}-60{y}^{2}.

다 풀었으면 정답 확인
수학식: 음의 십 y의 네제곱 빼기 오십오 y의 세제곱 빼기 육십 y의 제곱.
최대공약수가 있음에 주목하여 먼저 이를 묶어 낸다. 음의 오 y의 제곱 곱하기 괄호 열고 이 y의 제곱 더하기 십일 y 더하기 십이 괄호 닫고
삼항식을 인수분해한다. 이차 삼항식을 인수분해하는 단계를 보여 주는 수학식 -5y²(2y² + 11y + 12). 빨간색 글씨로 2y²의 인수 (y·2y)와 12의 인수 (1·12, 2·6, 3·4)가 적혀 있다.

모든 조합을 살펴본다.

이 표는 삼항식 2y² + 11y + 12의 가능한 인수들과 그 곱을 보여 준다. 일부 인수 쌍에서는 한 인수가 공약수를 갖는 두 항으로 이루어져 있을 때 그 인수가 강조되어 있다. 이런 경우의 곱은 답이 될 수 없는데, 삼항식이 공약수를 갖지 않으면 어느 인수도 공약수를 가질 수 없기 때문이다. 인수: y + 1, 2y + 12 (강조 표시). 인수: y + 12, 2y + 1; 곱: 2y² + 25y + 12. 인수: y + 2, 2y + 6 (강조 표시). 인수: y + 6, 2y + 2 (강조 표시). 인수: y + 3, 2y + 4 (강조 표시). 인수: y + 4, 2y + 3; 곱: 2y² + 11y + 12. 이것이 처음의 삼항식이다.
올바른 인수는 곱이 처음의 삼항식이 되는 것이다. 인수 −5y2-5{y}^{2} 을 반드시 포함시킨다. −5y2(y+4)(2y+3)-5{y}^{2}(y+4)(2y+3)
곱하여 확인한다: −5y2(y+4)(2y+3)−5y2(2y2+8y+3y+12)−10y4−55y3−60y2✓\quad \begin{array}{c} \\ \\ -5{y}^{2}(y+4)(2y+3) \\ -5{y}^{2}(2{y}^{2}+8y+3y+12) \\ -10{y}^{4}-55{y}^{3}-60{y}^{2}\checkmark \end{array}
이 문제로 이어서 풀기
# 인수분해계산자동 분류

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