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문제 은행 · 기초 수학 · 공통수학2 · 함수와 그래프

유리함수

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 7.3절 · 3번우리말 번역

나눗셈으로 바꾸어 복잡한 유리식을 간단히 하세요: 1x+1yxy−yx.\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{x}{y}-\frac{y}{x}}.

영어 원문 보기

Simplify the complex rational expression by writing it as division: 1x+1yxy−yx.\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{x}{y}-\frac{y}{x}}.

정답·풀이 보기

1단계는 복잡한 유리식, 즉 (1을 x로 나눈 것 더하기 1을 y로 나눈 것)을 (x를 y로 나눈 것 빼기 y를 x로 나눈 것)으로 나눈 식에서 분자의 합과 분모의 차를 간단히 하는 것이다. 이 복잡한 유리식에 있는 분수들의 공통분모는 x y이다. 1 나누기 x의 분자와 분모에 y 나누기 y를 곱한다. 1 나누기 y의 분자와 분모에 x 나누기 x를 곱한다. x 나누기 y의 분자와 분모에 x 나누기 x를 곱한다. y 나누기 x의 분자와 분모에 y 나누기 y를 곱한다. 그 결과는 (y 나누기 x y 더하기 x 나누기 x y)를 (x의 제곱 나누기 x y 빼기 y의 제곱 나누기 x y)로 나눈 식이다. 분자에 있는 분수들은 더하고 분모에 있는 분수들은 뺀다. 그 결과는 (y와 x의 합을 x y로 나눈 것)을 (x의 제곱과 y의 제곱의 차를 x y로 나눈 것)으로 나눈 식이다. 이제 분자에 유리식 하나, 분모에 유리식 하나만 남았다.

2단계는 복잡한 유리식을 나눗셈 문제로 다시 쓰는 것이다. 분자를 분모로 나누는 꼴로 쓴다. 그 결과는 (y와 x의 합을 x y로 나눈 것)을 (x의 제곱과 y의 제곱의 차를 x y로 나눈 것)으로 나눈 식이다.

3단계는 식을 나누는 것이다. 첫 번째 식에 두 번째 식의 역수를 곱한다. 그 결과는 (y와 x의 합을 x y로 나눈 것) 곱하기 (x y를 x의 제곱과 y의 제곱의 차로 나눈 것)이다. 가능하면 식을 인수분해한다. 그 결과는 x y와 y, x의 합의 곱을 x y, x와 y의 차, x와 y의 합의 곱으로 나눈 식이다. 공통인수 x y와 x, y의 합을 약분한다. 간단히 한다. 그 결과는 1 나누기 (x 빼기 y)이다.

원본 교재 풀이(영어)

Step 1 is to simplify the sum in the numerator and the difference in the denominator of complex rational expression, the quantity 1 divided by x plus 1 divided by y all divided by the quantity x divided by y minus y divided by x. The common denominator of the fractions in the complex rational expression is x y. Multiply the numerator and denominator of 1 divided by x by y over y. Multiply the numerator and denominator of 1 divided by y by x over x. Multiply the numerator and denominator of x divided by y by x over x. Multiply the numerator and denominator of y over x by y over y. The result is the quantity y divided by x y plus x divided by x y all divided by the quantity x squared divided by x y minus y squared divided by x y. Add the fractions in the numerator and subtract the fractions in the denominator. The result is the sum of y and x divided by x y all divided by the difference between x squared and y squared divided by x y. We now have just one rational expression in the numerator and one in the denominator.

Step 2 is to rewrite the complex rational expression as a division problem. Write the numerator divided by the denominator. The result is the quantity of the sum y and x divided by x y all divided by the quantity of the difference between x squared and y squared divided by x y.

Step 3 is to divided the expressions. Multiply the first expression by the reciprocal of the second expression. The result is the quantity of the sum y and x divided by x y times the quantity x y divided by the difference between x squared and y squared. Factor any expressions if possible. The result is the product of x y and the sum of y and x all divided by the product of x y, the difference between x and y, and the sum of x and y. Remove the common factors, x y and the sum of x and y. Simplify. The result is 1 divided by the quantity x minus y.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Elementary Algebra · 8.5절 · 1번우리말 번역

간단히 하세요: 4y−38y2−9.\frac{\frac{4}{y-3}}{\frac{8}{{y}^{2}-9}}.

다 풀었으면 정답 확인
4y−38y2−9\frac{\frac{4}{y-3}}{\frac{8}{{y}^{2}-9}}
복분수를 나눗셈으로 고쳐 쓴다. 4y−3÷8y2−9\frac{4}{y-3}\div \frac{8}{{y}^{2}-9}
첫째 식과 둘째 식의 역수의 곱으로 고쳐 쓴다. 4y−3⋅y2−98\frac{4}{y-3}\cdot \frac{{y}^{2}-9}{8}
곱한다. 4(y2−9)8(y−3)\frac{4({y}^{2}-9)}{8(y-3)}
공통인수를 찾기 위해 인수분해한다. 4(y−3)(y+3)4⋅2(y−3)\frac{4(y-3)(y+3)}{4\cdot 2(y-3)}
공통인수를 약분한다. 4(y−3)(y+3)4⋅2(y−3)\frac{4(y-3)(y+3)}{4\cdot 2(y-3)}
간단히 한다. y+32\frac{y+3}{2}

허용되지 않아야 할 yy 의 값이 있을까? 간단히 한 유리식은 분모가 상수뿐이다. 그러나 원래의 복분수식은 분모가 y−3y-3 과 y2−9{y}^{2}-9 였다. 이 식은 y=3y=3 또는 y=−3y=-3 이면 정의되지 않는다.

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