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문제 은행 · 기초 수학 · 공통수학2 · 함수와 그래프

유리함수

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 7.4절 · 8번우리말 번역

유리함수 f(x)=2x−6x2−8x+15f(x)=\frac{2x-6}{{x}^{2}-8x+15} 에 대하여 ⓐ 함수의 정의역을 구하고, ⓑ f(x)=1f(x)=1 을 풀고, ⓒ 이 함수의 값에 해당하는 그래프 위의 점을 구하세요.

영어 원문 보기

For rational function, f(x)=2x−6x2−8x+15,f(x)=\frac{2x-6}{{x}^{2}-8x+15}, ⓐ find the domain of the function, ⓑ solve f(x)=1,f(x)=1, and ⓒ find the points on the graph at this function value.

정답·풀이 보기

ⓐ 유리함수의 정의역은 유리식이 정의되지 않게 하는 수를 제외한 모든 실수이다. 따라서 그 수를 구하기 위해 분모를 0과 같다고 놓고 푼다.
x2−8x+15=0{x}^{2}-8x+15=0
삼항식을 인수분해한다. (x−3)(x−5)=0(x-3)(x-5)=0
영인자 성질을 이용한다. x−3=0x−5=0x-3=0\quad x-5=0
푼다. x=3x=5x=3\quad x=5
정의역은 x≠3,x≠5x\ne 3,x\ne 5 인 것을 제외한 모든 실수이다.

ⓑ
흰 배경 위에 깔끔한 산세리프 글꼴로 수식 f(x) = 1 이 나타나 있다.
유리식에 대입한다. 유리방정식 (2x - 6) / (x^2 - 8x + 15) = 1 이 나타나 있다. 분자는 일차식이고 분모는 이차식이며, 이 분수가 1과 같다.
분모를 인수분해한다. 분자가 (2x - 6) 이고 분모가 (x - 3)과 (x - 5)의 곱인 분수가 1과 같다는 방정식이 나타나 있다. x에 대해 풀어야 하는 유리방정식이다.
양변에 최소공통분모 (x−3)(x−5)(x-3)(x-5) 를 곱한다. 유리식을 없애기 위해 방정식의 양변에 공통분모 (x-3)(x-5) 를 곱하는 대수적 단계를 보여 준다.
간단히 한다. '2x - 6 = x^2 - 8x + 15' 라는 방정식이 나타나 있다. 이는 정리하여 x에 대해 풀 수 있는 이차방정식이다.
푼다. 흰 배경 위에 방정식이 나타나 있다. 방정식은 '0 = x^2 - 10x + 21' 이다.
인수분해한다. 배경이 흐릿한 가운데 방정식이 나타나 있다. 방정식은 '0 = (x - 7)(x - 3)' 이며, 인수분해된 형태의 이차방정식을 나타낸다.
영인자 성질을 이용한다. 두 개의 식이 가로로 나란히 나타나 있다. 왼쪽 식은 'x - 7 = 0' 이고 오른쪽 식은 'x - 3 = 0' 이다.
푼다. 흰 배경 위에 두 개의 식이 나타나 있다. 왼쪽은 'x = 7', 오른쪽은 'x = 3' 이며, 둘 다 짙은 회색 글씨이다.

그러나 x=3x=3 은 이 함수의 정의역에 속하지 않으므로 그 근은 무연근으로 버린다.

ⓒ 함수의 값이 1이 되는 것은 x=7x=7 일 때이다. 따라서 f(x)=1f(x)=1 일 때 이 함수의 그래프 위의 점은 (7,1))(7,1)) 이다.

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ The domain of a rational function is all real numbers except those that make the rational expression undefined. So to find them, we will set the denominator equal to zero and solve.
x2−8x+15=0{x}^{2}-8x+15=0
Factor the trinomial. (x−3)(x−5)=0(x-3)(x-5)=0
Use the Zero Product Property. x−3=0x−5=0x-3=0\quad x-5=0
Solve. x=3x=5x=3\quad x=5
The domain is all real numbers except x≠3,x≠5.x\ne 3,x\ne 5.

ⓑ
The mathematical equation f(x) = 1 is displayed in a clean, sans-serif font on a white background.
Substitute in the rational expression. A rational equation is displayed: (2x - 6) / (x^2 - 8x + 15) = 1. The equation involves a linear expression in the numerator and a quadratic expression in the denominator, set equal to 1.
Factor the denominator. The image displays a mathematical equation: a fraction with (2x - 6) in the numerator and the product of (x - 3) and (x - 5) in the denominator, set equal to 1. This is a rational equation to be solved for x.
Multiply both sides by the LCD, (x−3)(x−5).(x-3)(x-5). An algebraic step demonstrating the multiplication of both sides of an equation by the common denominator (x-3)(x-5) to eliminate the rational expression.
Simplify. A mathematical equation is displayed, showing '2x - 6 = x^2 - 8x + 15', a quadratic equation that can be rearranged and solved for x.
Solve. A mathematical equation is displayed against a white background. The equation reads '0 = x^2 - 10x + 21'.
Factor. A mathematical equation is shown with a blurred background. The equation reads '0 = (x - 7)(x - 3)', representing a quadratic equation in factored form.
Use the Zero Product Property. Two mathematical expressions are displayed horizontally. The expression on the left reads 'x - 7 = 0' and the expression on the right reads 'x - 3 = 0'.
Solve. Two mathematical expressions are displayed against a white background: 'x = 7' on the left and 'x = 3' on the right, both in dark grey font.

However, x=3x=3 is outside the domain of this function, so we discard that root as extraneous.

ⓒ The value of the function is 1 when x=7.x=7. So the points on the graph of this function when f(x)=1f(x)=1 is (7,1))(7,1))

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Elementary Algebra · 8.1절 · 9번우리말 번역

간단히 하세요: y2+y−42y2−36.\frac{{y}^{2}+y-42}{{y}^{2}-36}.

다 풀었으면 정답 확인

y2+y−42y2−36Factor the numerator and denominator.(y+7)(y−6)(y+6)(y−6)Remove the common factor y−6 fromthe numerator and the denominator.(y+7)(y−6)(y+6)(y−6)y+7y+6\begin{array}{cccc} & & & \quad \frac{{y}^{2}+y-42}{{y}^{2}-36} \\ \text{Factor the numerator and denominator.} & & & \quad \frac{(y+7)(y-6)}{(y+6)(y-6)} \\ \\ \\ \begin{array}{c}\text{Remove the common factor}\,y-6\,\text{from} \\ \text{the numerator and the denominator.}\end{array} & & & \quad \frac{(y+7)(y-6)}{(y+6)(y-6)} \\ & & & \quad \frac{y+7}{y+6}\end{array}

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