여러 가지 부등식

1단계. 부등식을 왼쪽은 하나의 분수식, 오른쪽은 0이 되도록 나타낸다.

주어진 부등식은 이미 이 꼴이다. $\quad \frac{x-1}{x+3}\ge 0$

2단계. 영 분할수, 즉 유리식의 값이 0이 되거나 정의되지 않는 점을 구한다.

분자가 0일 때 유리식의 값은 0이 된다. $x=1$ 일 때 $x-1=0$ 이므로 $1$ 은 영 분할수이다.

분모가 0일 때 유리식은 정의되지 않는다. $x=-3$ 일 때 $x+3=0$ 이므로 $-3$ 은 영 분할수이다.

영 분할수는 1과 $-3$ 이다.

3단계. 영 분할수를 이용하여 수직선을 구간으로 나눈다.

수직선은 세 개의 구간으로 나뉜다.

$\quad (-\infty ,-3)\quad (-3,1)\quad (1,\infty )$

4단계. 각 구간에서 값을 대입하여 확인한다. 수직선 위에는 각 구간에서 유리식의 각 인수의 부호를 나타내고, 수직선 아래에는 몫의 부호를 나타낸다.

구간에서 각 인수의 부호를 알아보려면 그 구간의 임의의 한 점을 골라 시험값으로 사용한다. 구간 안의 어떤 점을 택해도 식의 부호는 같으므로 구간 안의 아무 점이나 택해도 된다.

$$\text{구간}\,(-\infty ,-3)$$

수 $-4$ 는 구간 $(-\infty ,-3)$ 에 속한다. 분자와 분모의 식에 $x=-4$ 를 대입해 본다.

수직선 위에 인수 $x-1$ 은 음수, 인수 $x+3$ 도 음수로 표시한다.

음수를 음수로 나누면 양수이므로 구간 $(-\infty ,-3)$ 에서 몫은 양수로 표시한다.

$$\text{구간}\,(-3,1)$$

수 0은 구간 $(-3,1)$ 에 속한다. $x=0$ 을 대입해 본다.

수직선 위에 인수 $x-1$ 은 음수, $x+3$ 은 양수로 표시한다.

음수를 양수로 나누면 음수이므로 구간 $(-3,1)$ 에서 몫은 음수로 표시한다.

$$\text{구간}\,(1,\infty )$$

수 2는 구간 $(1,\infty )$ 에 속한다. $x=2$ 를 대입해 본다.

수직선 위에 인수 $x-1$ 은 양수, $x+3$ 도 양수로 표시한다.

양수를 양수로 나누면 양수이므로 구간 $(1,\infty )$ 에서 몫은 양수로 표시한다.

5단계. 부등식이 성립하는 구간을 찾는다. 해를 구간 표기로 나타낸다.

몫이 0보다 크거나 같아야 하므로 구간 $(-\infty ,-3)$ 과 $(1,\infty )$ 에 속하는 수는 해이다.

그런데 영 분할수는 어떻게 될까?

영 분할수 $x=-3$ 은 분모를 0으로 만들므로 해에서 제외해야 하며, 소괄호로 나타낸다.

영 분할수 $x=1$ 은 유리식 전체를 0으로 만든다. 이 부등식은 유리식이 0보다 크거나 같을 것을 요구한다. 따라서 1은 해에 포함되며, 대괄호로 나타낸다.

해가 두 개 이상의 구간으로 이루어져 있을 때는 합집합 기호 $\cup$ 를 사용하여 두 구간을 연결한다는 것을 기억하자. 구간 표기로 나타낸 해는 $(-\infty ,-3)\cup [1,\infty )$ 이다.