여러 가지 부등식 연습문제 — OpenStax Intermediate Algebra · 7.6절 · 1번

OpenStax Intermediate Algebra · 7.6절 · 1번우리말 번역

풀고 해를 구간 표기로 나타내세요: $\frac{x-1}{x+3}\ge 0.$

영어 원문 보기

Solve and write the solution in interval notation: $\frac{x-1}{x+3}\ge 0.$

정답·풀이 보기

1단계. 부등식을 왼쪽은 하나의 분수식, 오른쪽은 0이 되도록 나타낸다.

주어진 부등식은 이미 이 꼴이다. $\quad \frac{x-1}{x+3}\ge 0$

2단계. 영 분할수, 즉 유리식의 값이 0이 되거나 정의되지 않는 점을 구한다.

분자가 0일 때 유리식의 값은 0이 된다. $x=1$ 일 때 $x-1=0$ 이므로 $1$ 은 영 분할수이다.

분모가 0일 때 유리식은 정의되지 않는다. $x=-3$ 일 때 $x+3=0$ 이므로 $-3$ 은 영 분할수이다.

영 분할수는 1과 $-3$ 이다.

3단계. 영 분할수를 이용하여 수직선을 구간으로 나눈다.

이 그림은 음수 3과 0에 표시된 영 분할수에 의해 세 개의 구간으로 나뉜 수직선을 보여 준다.

수직선은 세 개의 구간으로 나뉜다.

$\quad (-\infty ,-3)\quad (-3,1)\quad (1,\infty )$

4단계. 각 구간에서 값을 대입하여 확인한다. 수직선 위에는 각 구간에서 유리식의 각 인수의 부호를 나타내고, 수직선 아래에는 몫의 부호를 나타낸다.

구간에서 각 인수의 부호를 알아보려면 그 구간의 임의의 한 점을 골라 시험값으로 사용한다. 구간 안의 어떤 점을 택해도 식의 부호는 같으므로 구간 안의 아무 점이나 택해도 된다.

$\text{구간}\,(-\infty ,-3)$

수 $-4$ 는 구간 $(-\infty ,-3)$ 에 속한다. 분자와 분모의 식에 $x=-4$ 를 대입해 본다.

이 그림은 식 x 빼기 1을 "분자"라고 표시한다. x에 음수 4를 대입하면 결과가 음수 5가 됨을 보여 주고, 그 결과를 "음수"라고 표시한다. 또한 식 x 더하기 3을 "분모"라고 표시한다. x에 음수 4를 대입하면 결과가 음수 1이 됨을 보여 주고, 그 결과를 "음수"라고 표시한다.

수직선 위에 인수 $x-1$ 은 음수, 인수 $x+3$ 도 음수로 표시한다.

음수를 음수로 나누면 양수이므로 구간 $(-\infty ,-3)$ 에서 몫은 양수로 표시한다.

이 그림은 (x 빼기 1)을 (x 더하기 3)으로 나눈 몫을 보여 주는데, 분자가 음수이고 분모가 음수이므로 몫은 양수이다. 또한 음수 3과 0에 표시된 영 분할수에 의해 세 개의 구간으로 나뉜 수직선을 보여 준다. 음의 무한대에서 음수 3까지의 구간에 대해 수직선 위에 인수 x 빼기 1과 x 더하기 3이 음수로 표시되어 있다. 음의 무한대에서 음수 3까지의 구간에 대해 수직선 아래에 (x 빼기 1)을 (x 더하기 3)으로 나눈 몫이 양수로 표시되어 있다.

$\text{구간}\,(-3,1)$

수 0은 구간 $(-3,1)$ 에 속한다. $x=0$ 을 대입해 본다.

이 그림은 식 x 빼기 1을 "분자"라고 표시한다. x에 0을 대입하면 결과가 음수 1이 됨을 보여 주고, 그 결과를 "음수"라고 표시한다. 또한 식 x 더하기 3을 "분모"라고 표시한다. x에 0을 대입하면 결과가 3이 됨을 보여 주고, 그 결과를 "양수"라고 표시한다.

수직선 위에 인수 $x-1$ 은 음수, $x+3$ 은 양수로 표시한다.

음수를 양수로 나누면 음수이므로 구간 $(-3,1)$ 에서 몫은 음수로 표시한다.

이 그림은 (x 빼기 1)을 (x 더하기 3)으로 나눈 몫을 보여 주는데, 분자가 음수이고 분모가 양수이므로 몫은 음수이다. 또한 음수 3과 0에 표시된 영 분할수에 의해 세 개의 구간으로 나뉜 수직선을 보여 준다. 음의 무한대에서 음수 3까지의 구간에 대해 수직선 위에 인수 x 빼기 1과 x 더하기 3이 음수로 표시되어 있다. 음의 무한대에서 음수 3까지의 구간에 대해 수직선 아래에 (x 빼기 1)을 (x 더하기 3)으로 나눈 몫이 양수로 표시되어 있다. 음수 3에서 1까지의 구간에 대해 수직선 위에 인수 x 빼기 1은 음수로, 인수 x 더하기 3은 양수로 표시되어 있다. 음수 3에서 1까지의 구간에 대해 수직선 아래에 (x 빼기 1)을 (x 더하기 3)으로 나눈 몫이 음수로 표시되어 있다.

$\text{구간}\,(1,\infty )$

수 2는 구간 $(1,\infty )$ 에 속한다. $x=2$ 를 대입해 본다.

이 그림은 식 x 빼기 1을 "분자"라고 표시한다. x에 2를 대입하면 결과가 1이 됨을 보여 주고, 그 결과를 "양수"라고 표시한다. 또한 식 x 더하기 3을 "분모"라고 표시한다. x에 2를 대입하면 결과가 5가 됨을 보여 주고, 그 결과를 "양수"라고 표시한다.

수직선 위에 인수 $x-1$ 은 양수, $x+3$ 도 양수로 표시한다.

양수를 양수로 나누면 양수이므로 구간 $(1,\infty )$ 에서 몫은 양수로 표시한다.

5단계. 부등식이 성립하는 구간을 찾는다. 해를 구간 표기로 나타낸다.

몫이 0보다 크거나 같아야 하므로 구간 $(-\infty ,-3)$ 과 $(1,\infty )$ 에 속하는 수는 해이다.

그런데 영 분할수는 어떻게 될까?

영 분할수 $x=-3$ 은 분모를 0으로 만들므로 해에서 제외해야 하며, 소괄호로 나타낸다.

영 분할수 $x=1$ 은 유리식 전체를 0으로 만든다. 이 부등식은 유리식이 0보다 크거나 같을 것을 요구한다. 따라서 1은 해에 포함되며, 대괄호로 나타낸다.

해가 두 개 이상의 구간으로 이루어져 있을 때는 합집합 기호 $\cup$ 를 사용하여 두 구간을 연결한다는 것을 기억하자. 구간 표기로 나타낸 해는 $(-\infty ,-3)\cup [1,\infty )$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Step 1. Write the inequality as one quotient on the left and zero on the right.

Our inequality is in this form. $\quad \frac{x-1}{x+3}\ge 0$

Step 2. Determine the zero partition numbers—the points where the rational expression will be zero or undefined.

The rational expression will be zero when the numerator is zero. Since $x-1=0$ when $x=1,$ then $1$ is a zero partition number.

The rational expression will be undefined when the denominator is zero. Since $x+3=0$ when $x=-3,$ then $-3$ is a zero partition number.

The zero partition numbers are 1 and $-3.$

Step 3. Use the zero partition numbers to divide the number line into intervals.

This figure shows a number line divided into three intervals by its zero partition numbers marked at negative 3 and 0.

The number line is divided into three intervals:

$\quad (-\infty ,-3)\quad (-3,1)\quad (1,\infty )$

Step 4. Test a value in each interval. Above the number line show the sign of each factor of the rational expression in each interval. Below the number line show the sign of the quotient.

To find the sign of each factor in an interval, we choose any point in that interval and use it as a test point. Any point in the interval will give the expression the same sign, so we can choose any point in the interval.

$\text{Interval}\,(-\infty ,-3)$

The number $-4$ is in the interval $(-\infty ,-3).$ Test $x=-4$ in the expression in the numerator and the denominator.

This figure labels the expression, x minus 1, as the “numerator”. It shows that when negative 4 is substituted into the expression for x, the result is negative 5. It labels the result as “negative”. It also labels the expression, x plus 3, as “the denominator”. It shows that when negative 4 is substituted into the expression for x, the result is negative 1. It labels the result “negative”.

Above the number line, mark the factor $x-1$ negative and mark the factor $x+3$ negative.

Since a negative divided by a negative is positive, mark the quotient positive in the interval $(-\infty ,-3).$

$\text{Interval}\,(-3,1)$

The number 0 is in the interval $(-3,1).$ Test $x=0.$

This figure labels the expression, x minus 1, as the “numerator”. It shows that when 0 is substituted into the expression for x, the result is negative 1. It labels the result as “negative”. It also labels the expression, x plus 3, as “the denominator”. It shows that when 0 is substituted into the expression for x, the result is 3. It labels the result “positive”.

Above the number line, mark the factor $x-1$ negative and mark $x+3$ positive.

Since a negative divided by a positive is negative, the quotient is marked negative in the interval $(-3,1).$

$\text{Interval}\,(1,\infty )$

The number 2 is in the interval $(1,\infty ).$ Test $x=2.$

This figure labels the expression, x minus 1, as the “numerator”. It shows that when 2 is substituted into the expression for x, the result is 1. It labels the result as “positive”. It also labels the expression, x plus 3, as “the denominator”. It shows that when 2 is substituted into the expression for x, the result is 5. It labels the result “positive”.

Above the number line, mark the factor $x-1$ positive and mark $x+3$ positive.

Since a positive divided by a positive is positive, mark the quotient positive in the interval $(1,\infty ).$

Step 5. Determine the intervals where the inequality is correct. Write the solution in interval notation.

We want the quotient to be greater than or equal to zero, so the numbers in the intervals $(-\infty ,-3)$ and $(1,\infty )$ are solutions.

But what about the zero partition numbers?

The zero partition number $x=-3$ makes the denominator 0, so it must be excluded from the solution and we mark it with a parenthesis.

The zero partition number $x=1$ makes the whole rational expression 0. The inequality requires that the rational expression be greater than or equal to 0. So, 1 is part of the solution and we will mark it with a bracket.

Recall that when we have a solution made up of more than one interval we use the union symbol, $\cup ,$ to connect the two intervals. The solution in interval notation is $(-\infty ,-3)\cup [1,\infty ).$

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