여러 가지 부등식 연습문제 — OpenStax Intermediate Algebra · 7.6절 · 5번

OpenStax Intermediate Algebra · 7.6절 · 5번우리말 번역

함수 $R(x)=\frac{x+3}{x-5}$ 가 주어질 때, 함수의 값이 0 이하가 되게 하는 x 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Given the function $R(x)=\frac{x+3}{x-5},$ find the values of x that make the function less than or equal to 0.

정답·풀이 보기

함수의 값이 0 이하가 되게 하려고 한다.


	$R(x)\le 0$
$R(x)$ 에 유리식을 대입한다.	$\frac{x+3}{x-5}\le 0\quad x\ne 5$
0이 되는 분할점을 구한다.	$\begin{array}{cccccccc}x+3 & = & 0 & & & x-5 & = & 0 \\ x & = & -3 & & & x & = & 5\end{array}$
분할점을 이용하여 수직선을 구간으로 나눈다.

각 구간에서 값을 대입하여 확인한다. 수직선 위에는 각 구간에서 각 인수의 부호를 나타낸다. 수직선 아래에는 몫의 부호를 나타낸다.
해를 구간 표기로 나타낸다. 5는 제외되므로 구간에 포함하지 않는다.	$[-3,5)$

원본 교재 풀이(영어)

We want the function to be less than or equal to 0.


	$R(x)\le 0$
Substitute the rational expression for $R(x).$	$\frac{x+3}{x-5}\le 0\quad x\ne 5$
Find the zero partition numbers.	$\begin{array}{cccccccc}x+3 & = & 0 & & & x-5 & = & 0 \\ x & = & -3 & & & x & = & 5\end{array}$
Use the zero partition numbers to divide the number line into intervals.

Test values in each interval. Above the number line, show the sign of each factor in each interval. Below the number line, show the sign of the quotient
Write the solution in interval notation. Since 5 is excluded we, do not include it in the interval.	$[-3,5)$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 7.6절 · 6번우리말 번역

함수 $C(x)=10x+3000$ 은 $x$ , 개의 물건을 생산하는 데 드는 비용을 나타낸다. ⓐ 평균 비용 함수 $c(x)$ ⓑ 평균 비용이 $40 보다 작아지려면 몇 개의 물건을 생산해야 하는지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

ⓐ


	$C(x)=10x+3000$
평균 비용 함수는 $c(x)=\frac{C(x)}{x}$ 이다.
평균 비용 함수를 구하려면 비용 함수를 $x$ 로 나눈다.	$\begin{array}{c} \\ \\ c(x)=\frac{C(x)}{x} \\ c(x)=\frac{10x+3000}{x}\end{array}$
	평균 비용 함수는 $c(x)=\frac{10x+3000}{x}$ 이다.

ⓑ


함수 $c(x)$ 가 $40$ 보다 작아야 한다.	$\quad c(x)<40$
$c(x)$ 대신 유리식을 대입한다.	$\quad \frac{10x+3000}{x}<40\,x\ne 0$
오른쪽이 0이 되도록 40을 뺀다.	$\quad \frac{10x+3000}{x}-40<0$
최소공통분모를 찾아 뺄셈을 하여 왼쪽을 하나의 분수로 고쳐 쓴다.	$\frac{10x+3000}{x}-40\left(\frac{x}{x}\right)<0$
	$\,\frac{10x+3000}{x}-\frac{40x}{x}<0$
	$\quad \frac{10x+3000-40x}{x}<0$
	$\quad \frac{-30x+3000}{x}<0$
분자를 인수분해하여 모든 인수를 드러낸다.	$\quad \frac{-30(x-100)}{x}<0$
분자가 0이 되는 값과 분모가 0이 되는 값, 즉 경계가 되는 수를 구한다.	$\begin{array}{cccc}-30(x-100) & = & 0 & \quad x=0 \\ -30\ne 0\quad x-100 & = & 0 & \\ x & = & 100 & \end{array}$

물건 한 개당 평균 비용을 $40 보다 낮게 유지하려면 100개보다 많이 생산해야 한다.