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이차함수와 그래프

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OpenStax Intermediate Algebra · 9.6절 · 6번우리말 번역

f (x) = x2 −6x + 8 의 그래프를 성질을 이용하여 그리세요.

영어 원문 보기

Graph f (x) = x2 −6x + 8 by using its properties.

정답·풀이 보기

1단계는 포물선이 아래로 볼록한지 위로 볼록한지 판단하는 것이다. 식에서 최고차항의 계수 a를 살펴본다. f(x)가 x 제곱 빼기 6x 더하기 8이면 a는 1이다. a가 양수이므로 포물선은 아래로 볼록하다.

2단계는 대칭축을 구하는 것이다. 대칭축은 직선 x는 −b를 2a로 나눈 값과 같다. 함수 f(x)는 x 제곱 빼기 6x 더하기 8이므로, 대칭축은 −b를 2a로 나눈 값이다. x는 −6의 부호가 반대인 수를 2 곱하기 1로 나눈 값과 같다. x는 3이다.

3단계에서는 꼭짓점을 구한다. 꼭짓점은 대칭축 위에 있다. 함수에 x는 3을 대입한다. f(x)는 x 제곱 빼기 6x 더하기 8이다. f(3)은 3 제곱 빼기 6 곱하기 3 더하기 8이다. f(3)은 −1이다. 꼭짓점은 점 (3, −1)이다.

4단계. y절편을 구한다. 대칭축에 대하여 y절편과 대칭인 점을 구한다. 먼저 y절편을 구하기 위해 f(0)을 구한다. f(x)는 x 제곱 더하기 6x 더하기 8이므로, f(0)은 0 제곱 더하기 6 곱하기 0 더하기 8이다. f(0)은 8이다. y절편은 점 (0, 8)이다. 대칭축을 이용하여 y절편과 대칭인 점을 구한다. y절편은 대칭축 x는 3에서 왼쪽으로 3만큼 떨어져 있다. 대칭축에서 오른쪽으로 3만큼 떨어진 점의 x값은 6이다. y절편과 대칭인 점은 점 (6, 8)이다.

5단계는 x절편을 구하는 것이다. 필요하면 점을 더 구한다. f(x)는 0이라는 방정식을 푼다. 이 이차방정식은 인수분해로 풀 수 있다. x절편을 구하기 위해 f(x)를 0과 같게 놓는다. f(x)는 x 제곱 빼기 6x 더하기 8이다. 0은 x 제곱 빼기 6x 더하기 8과 같다. 0은 x 빼기 2와 x 빼기 4의 곱과 같다. 따라서 x는 2 또는 x는 4이다. x절편은 점 (2, 0)과 (4, 0)이다.

마지막 단계인 6단계는 포물선의 그래프를 그리는 것이다. 꼭짓점, 절편, 그리고 y절편과 대칭인 점을 그래프에 나타낸다. 이 5개의 점을 이어서 포물선을 그린다. 그림은 xy 좌표평면 위에 그려진 아래로 볼록한 포물선을 보여 준다. 좌표평면의 x축은 −2부터 10까지이다. y축은 −3부터 7까지이다. 포물선의 꼭짓점은 (3, −1)이다. 그 밖에 x절편 (2, 0)과 (4, 0), y절편 (0, 8), 그리고 대칭축에 대하여 y절편과 대칭인 점 (6, 8)이 표시되어 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Step 1 is to determine whether the parabola opens upward or downward. Loot at the leading coefficient, a, in the equation. If f of x equals x squared minus 6 x plus 8, then a equals 1. Since a is positive, the parabola opens upward.

Step 2 is to find the axis of symmetry. The axis of symmetry is the line x equals negative b divided by the product 2 a. For the function f of x equals x squared minust 6 x plus 8, the axis of symmetry is negative b divided by the product 2 a. x equals the opposite of negative 6 divided by the product 2 times 1. X equals 3.

In step 3, find the vertex. The vertex is on the axis of symmetry. Substitute x equals 3 into the function. F of x equals x squared minus 6 x plus 8. F of 3 equals 3 squared minus 6 times 3 plus 8. F of 3 equals negative 1. The vertex is the point (3, negative 1).

Step 4. Find the y-intercept. Find the point symmetric to the y-intercept across the axis of symmetry. We first find f of 0 to find the y-intercept. F of x equals x squared plus 6 x plus 8, so f of 0 equals 0 squared plus 6 times 0 plus 8. F of 0 equals 8. The y-intercept is the point (0, 8). We use the axis of symmetry to find a point symmetric to the y-intercept. The y-intercept is 3 units left of the axis of symmetry, x equals 3. A point 3 units to the right of the axis of symmetry has x-value 6. The point symmetric to the y-intercept is the point (6, 8).

Step 5 is to find the x-intercepts. Find additional points if needed. We solve f of x equals 0. We can solve this quadratic equation by factoring. To find the x-intercepts, set f of x equal to 0. F of x equals x squared minus 6 x plus 8. 0 equals x squared minus 6 x plus 8. 0 equals the product of x minus 2 and x minus 4. So x equals 2 or x equals 4. The x-intercepts are the points (2, 0) and (4, 0).

The final step, step 6, is to graph the parabola. We graph the vertex, intercepts, and the point symmetric to the y-intercept. We connect these 5 points to sketch the parabola. An image shows an upward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 2 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 3 to 7. The parabola has a vertex at (3, negative 1). Other points plotted include the x-intercepts, (2, 0) and (4, 0), the y-intercept, (0, 8), and the point (6, 8) that is symmetric to the y-intercept across the axis of symmetry.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 3번우리말 번역

수직 이동을 이용하여 f(x)=x2−5f(x)={x}^{2}-5 의 그래프를 그리세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 그림은 x y 좌표평면 위에 위로 열린 포물선 2개를 보여 준다. 위쪽 곡선은 f(x) 가 x 의 제곱과 같은 함수, 즉 f(x)=x^2 의 그래프이며 꼭짓점은 (0, 0)이다. 이 곡선 위의 다른 점은 (-1, 1)과 (1, 1)에 있다. 아래쪽 곡선은 아래로 5만큼 이동한 것이다.

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