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이차함수와 그래프

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 69번우리말 번역

이차함수 f(x)=x2+4x+5f(x)={x}^{2}+4x+5 의 그래프를 먼저 지난 절에서 한 것처럼 성질을 이용하여 그린 다음, 변환을 이용하여 다시 그리세요. 어느 방법이 더 좋은가요? 그 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Graph the quadratic function f(x)=x2+4x+5f(x)={x}^{2}+4x+5 first using the properties as we did in the last section and then graph it using transformations. Which method do you prefer? Why?

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답은 사람마다 다를 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 8번우리말 번역

변환을 이용하여 f(x)=x2+6x+5f(x)={x}^{2}+6x+5 의 그래프를 그리세요.

다 풀었으면 정답 확인

1단계. 완전제곱식을 만들어 함수를 f(x)=a(x−h)2+kf(x)=a{(x-h)}^{2}+k 꼴인 꼭짓점 꼴로 고쳐 쓴다.
이차함수 f(x) = x^2 + 6x + 5 를 나타낸 수학 등식이 표시되어 있다. 이 함수는 변수와 계수를 사용한 일반적인 대수 표기법으로 쓰여 있다.
x 항과 상수항을 분리한다. 이차함수 f(x) = x^2 + 6x + 5 를 나타낸 수학 등식이 표시되어 있다. 이 등식은 흰 배경에 검은 글씨로 나타나 있으며, 일반적인 대수식의 모양이다.
완전제곱식을 만들기 위해 6의 절반을 구한 다음 제곱한다. (12⋅6)2=9{\left(\frac{1}{2}\cdot 6\right)}^{2}=9
함수의 값이 변하지 않도록 9를 더하고 9를 뺀다. f(x) 에 대한 수학 등식이 f(x) = x^2 + 6x + 9 + 5 - 9 로 나타나 있고, +9 와 -9 가 빨간색으로 강조되어 있다.
삼항식을 제곱식으로 고쳐 쓰고 상수끼리 계산한다. 흰 배경에 수학 등식 f(x) = (x + 3)^2 - 4 가 표시되어 있다. 이것은 꼭짓점 꼴로 나타낸 이차함수이다.
이제 함수는 f(x)=(x−h)2+kf(x)={(x-h)}^{2}+k 꼴이 되었다. 두 개의 수학 등식이 표시되어 있다. 하나는 포물선의 일반적인 꼭짓점 꼴 f(x) = (x - h)^2 + k 로 빨간색이고, 다른 하나는 구체적인 예인 f(x) = (x + 3)^2 - 4 로 검은색이다.

2단계: 변환을 이용하여 함수의 그래프를 그린다.

h, k 의 값을 보면, f(x)=x2f(x)={x}^{2} 의 그래프를 왼쪽으로 3만큼, 아래쪽으로 4만큼 평행이동한 그래프임을 알 수 있다.

f(x)는 x의 제곱과 같다는 식에서 화살표가 나와 f(x)는 x+3의 제곱과 같다는 식을 가리키고, 여기서 다시 화살표가 나와 f(x)는 x+3의 제곱에서 4를 뺀 것과 같다는 식을 가리킨다. 그다음 줄에는 h는 -3과 같고 이는 왼쪽으로 3만큼 이동한다는 뜻이며, k는 -4와 같고 이는 아래쪽으로 4만큼 이동한다는 뜻이라고 쓰여 있다.

먼저 격자 위에 f(x)=x2f(x)={x}^{2} 의 그래프를 그린다.

f(x)가 x+3의 제곱과 같은 함수의 그래프를 그리려면, f(x)가 x의 제곱과 같은 함수의 그래프를 왼쪽으로 3만큼 이동한다. f(x)가 x+3의 제곱에서 4를 뺀 것과 같은 함수의 그래프를 그리려면, x+3의 제곱의 그래프를 아래쪽으로 4만큼 이동한다.

첫 번째 그래프는 xy 좌표평면 위에 아래로 볼록한(위로 열린) 포물선 하나를 보여 준다. 이것은 꼭짓점이 (0, 0)인 f(x)는 x의 제곱과 같은 함수의 그래프이다. 곡선 위의 다른 점으로는 (-1, 1)과 (1, 1)이 있다. f(x)는 x의 제곱과 같은 함수의 그래프를 왼쪽으로 3만큼 이동하면 다음 그래프가 되는데, 이 그래프에는 원래의 f(x)는 x의 제곱과 같은 함수의 그래프와 함께 왼쪽으로 3만큼 이동하여 f(x)는 x+3의 제곱과 같은 함수가 된 또 하나의 곡선이 나타나 있다. f(x)는 x+3의 제곱과 같은 함수의 그래프를 아래쪽으로 2만큼 이동하면 마지막 그래프가 되는데, 이 그래프에는 원래의 f(x)는 x의 제곱과 같은 함수의 그래프, f(x)는 x+3의 제곱과 같은 함수의 그래프, 그리고 아래쪽으로 4만큼 이동하여 f(x)는 x+1의 제곱에서 4를 뺀 것과 같은 함수가 된 또 하나의 곡선이 나타나 있다.

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