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문제 은행 · 기초 수학 · 중학 수학 · 함수

이차함수와 그래프

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 2번우리말 번역

세로 방향 평행이동을 이용하여 f(x)=x2−3f(x)={x}^{2}-3 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph f(x)=x2−3f(x)={x}^{2}-3 using a vertical shift.

정답·풀이 보기
먼저 격자 위에 f(x)=x2f(x)={x}^{2} 의 그래프를 그린다. 이 그림은 xy 좌표평면 위에 꼭짓점이 (0, 0)인 아래로 볼록한 포물선을 보여 준다. 곡선 위의 다른 점으로 (−1, 1)과 (1, 1)이 있다. 이것은 f(x)=x^2 의 그래프이다.
kk 를 구한다. 두 방정식 f(x) = x^2 + k 와 f(x) = x^2 - 3 (빨간색으로 강조됨)이 나타나 있다. 이 이미지는 k의 값을 구하는 수학 문제를 위한 것으로 보인다.
방정식 k = -3 이 아무 무늬 없는 흰 배경 한가운데에 검은색 글자로 나타나 있다.
f(x)=x2f(x)={x}^{2} 의 그래프를 아래로 3만큼 평행이동한다. 이 그림은 xy 좌표평면 위에 아래로 볼록한 포물선 2개를 보여 준다. 위쪽 곡선은 f(x)=x^2 의 그래프이며 꼭짓점은 (0, 0)이다. 곡선 위의 다른 점으로 (−1, 1)과 (1, 1)이 있다. 아래쪽 곡선은 아래로 3만큼 이동한 것이다.
원본 교재 풀이(영어)
We first draw the graph of f(x)=x2f(x)={x}^{2} on the grid. This figure shows an upward-opening parabola on the x y-coordinate plane with a vertex of (0, 0) with other points on the curve located at (negative 1, 1) and (1, 1). It is the graph of f of x equals x squared.
Determine kk. Two mathematical equations are displayed: f(x) = x^2 + k and f(x) = x^2 - 3 (highlighted in red). The image appears to be for a math problem determining the value of k.
The mathematical equation k = -3 is displayed in black text on a plain white background, centrally positioned within the frame.
Shift the graph f(x)=x2f(x)={x}^{2} down 3. This figure shows 2 upward-opening parabolas on the x y-coordinate plane. The top curve is the graph of f of x equals x squared which has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). The bottom curve has been moved down 3 units.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 9번우리말 번역

변환을 이용하여 f(x)=−2x2−4x+2f(x)=-2{x}^{2}-4x+2 의 그래프를 그리세요.

다 풀었으면 정답 확인

1단계. 완전제곱식을 만들어 함수를 f(x)=a(x−h)2+kf(x)=a{(x-h)}^{2}+k 꼴인 꼭짓점 꼴로 고쳐 쓴다.
흰 배경에 이차함수 f(x) = -2x^2 - 4x + 2 가 나타나 있다.
x 항과 상수를 분리한다. 이차함수의 식 f(x) = -2x^2 - 4x + 2 가 나타나 있다.
x2{x}^{2} 의 계수가 1이 되어야 한다. x 항에서 −2-2 를 묶어 낸다. 함수 f(x) = -2(x^2 + 2x) + 2 를 나타내는 식이 있다. 이것은 간단히 하거나 완전제곱식을 만드는 데 쓸 수 있는 꼴로 나타낸 이차함수이다.
완전제곱식을 만들기 위해 2의 절반을 구한 다음 제곱한다. (12⋅2)2=1{\left(\frac{1}{2}\cdot 2\right)}^{2}=1
괄호 안에 1을 더하여 완전제곱식을 만든다. 그런데 괄호에는 −2-2 가 곱해져 있으므로 실제로는 −2-2 를 더하는 것이다. 함수의 값이 바뀌지 않도록 2를 더한다. 대수식 f(x) = -2(x^2 + 2x + 1) + 2 + 2 이다. 빨간색 숫자와 화살표로, 괄호 안에 1을 더하고 이를 보정하기 위해 괄호 밖에 2를 더한 것을 강조하고 있다.
삼항식을 제곱의 꼴로 고쳐 쓰고 상수끼리 계산한다. 꼭짓점 꼴로 나타낸 이차함수의 식 f(x) = -2(x + 1)^2 + 4 가 나타나 있다.
이제 함수가 f(x)=a(x−h)2+kf(x)=a{(x-h)}^{2}+k 꼴이 되었다. 이차함수의 식 두 개가 있다. 빨간색으로 쓴 일반적인 꼭짓점 꼴 f(x) = a(x - h)^2 + k 와, 검은색으로 쓴 구체적인 예 f(x) = -2(x + 1)^2 + 4 이다.

2단계. 변환을 이용하여 함수의 그래프를 그린다.

f(x)는 x의 제곱과 같다는 식에서 화살표가 f(x)는 -2 곱하기 x의 제곱과 같다는 식을 가리키고, 그 식에서 다시 화살표가 f(x)는 -2 곱하기 (x+1)의 제곱과 같다는 식을 가리킨다. 여기서 또 화살표가 f(x)는 -2 곱하기 (x+1)의 제곱 더하기 4와 같다는 식을 가리킨다. 다음 줄에는 a는 -2이며 이는 y값에 -2를 곱한다는 뜻이고, h는 -1이며 이는 왼쪽으로 1만큼 평행이동한다는 뜻이고, k는 4이며 이는 위쪽으로 4만큼 평행이동한다는 뜻이라고 쓰여 있다.

먼저 격자 위에 f(x)=x2f(x)={x}^{2} 의 그래프를 그린다.

f(x) = -2x^2 의 그래프를 그리려면 f(x) = x^2 의 포물선에서 y값에 -2를 곱한다. f(x) = -2(x+1)^2 의 그래프를 그리려면 f(x) = -2x^2 의 그래프를 왼쪽으로 1만큼 평행이동한다. f(x) = -2(x+1)^2 + 4 의 그래프를 그리려면 f(x) = -2(x+1)^2 의 그래프를 위쪽으로 4만큼 평행이동한다.

첫 번째 그래프는 xy좌표평면 위에 아래로 볼록한 포물선 하나를 보여 준다. 이것은 꼭짓점이 (0, 0)인 f(x) = x^2 의 그래프이다. 곡선 위의 다른 점으로 (-1, 1)과 (1, 1)이 있다. -2를 곱하면 다음 그래프로 넘어가는데, 처음의 f(x) = x^2 의 그래프와 폭이 더 좁아지고 위아래로 뒤집힌 새로운 f(x) = -2x^2 의 그래프가 나타나 있다. f(x) = -2x^2 의 그래프를 왼쪽으로 1만큼 평행이동하면 다음 그래프로 넘어가는데, 처음의 f(x) = x^2, f(x) = -2x^2, 그리고 왼쪽으로 1만큼 이동하여 만든 f(x) = -2(x+1)^2 의 곡선이 나타나 있다. f(x) = -2(x+1)^2 의 그래프를 위쪽으로 4만큼 평행이동하면 마지막 그래프로 넘어가는데, 처음의 f(x) = x^2, f(x) = -2x^2, f(x) = -2(x+1)^2 의 그래프와, 위쪽으로 4만큼 이동하여 만든 f(x) = -2(x+1)^2 + 4 의 곡선이 나타나 있다.

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