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이차함수와 그래프

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OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 9번우리말 번역

변환을 이용하여 f(x)=−2x2−4x+2f(x)=-2{x}^{2}-4x+2 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph f(x)=−2x2−4x+2f(x)=-2{x}^{2}-4x+2 by using transformations.

정답·풀이 보기

1단계. 완전제곱식을 만들어 함수를 f(x)=a(x−h)2+kf(x)=a{(x-h)}^{2}+k 꼴인 꼭짓점 꼴로 고쳐 쓴다.
흰 배경에 이차함수 f(x) = -2x^2 - 4x + 2 가 나타나 있다.
x 항과 상수를 분리한다. 이차함수의 식 f(x) = -2x^2 - 4x + 2 가 나타나 있다.
x2{x}^{2} 의 계수가 1이 되어야 한다. x 항에서 −2-2 를 묶어 낸다. 함수 f(x) = -2(x^2 + 2x) + 2 를 나타내는 식이 있다. 이것은 간단히 하거나 완전제곱식을 만드는 데 쓸 수 있는 꼴로 나타낸 이차함수이다.
완전제곱식을 만들기 위해 2의 절반을 구한 다음 제곱한다. (12⋅2)2=1{\left(\frac{1}{2}\cdot 2\right)}^{2}=1
괄호 안에 1을 더하여 완전제곱식을 만든다. 그런데 괄호에는 −2-2 가 곱해져 있으므로 실제로는 −2-2 를 더하는 것이다. 함수의 값이 바뀌지 않도록 2를 더한다. 대수식 f(x) = -2(x^2 + 2x + 1) + 2 + 2 이다. 빨간색 숫자와 화살표로, 괄호 안에 1을 더하고 이를 보정하기 위해 괄호 밖에 2를 더한 것을 강조하고 있다.
삼항식을 제곱의 꼴로 고쳐 쓰고 상수끼리 계산한다. 꼭짓점 꼴로 나타낸 이차함수의 식 f(x) = -2(x + 1)^2 + 4 가 나타나 있다.
이제 함수가 f(x)=a(x−h)2+kf(x)=a{(x-h)}^{2}+k 꼴이 되었다. 이차함수의 식 두 개가 있다. 빨간색으로 쓴 일반적인 꼭짓점 꼴 f(x) = a(x - h)^2 + k 와, 검은색으로 쓴 구체적인 예 f(x) = -2(x + 1)^2 + 4 이다.

2단계. 변환을 이용하여 함수의 그래프를 그린다.

f(x)는 x의 제곱과 같다는 식에서 화살표가 f(x)는 -2 곱하기 x의 제곱과 같다는 식을 가리키고, 그 식에서 다시 화살표가 f(x)는 -2 곱하기 (x+1)의 제곱과 같다는 식을 가리킨다. 여기서 또 화살표가 f(x)는 -2 곱하기 (x+1)의 제곱 더하기 4와 같다는 식을 가리킨다. 다음 줄에는 a는 -2이며 이는 y값에 -2를 곱한다는 뜻이고, h는 -1이며 이는 왼쪽으로 1만큼 평행이동한다는 뜻이고, k는 4이며 이는 위쪽으로 4만큼 평행이동한다는 뜻이라고 쓰여 있다.

먼저 격자 위에 f(x)=x2f(x)={x}^{2} 의 그래프를 그린다.

f(x) = -2x^2 의 그래프를 그리려면 f(x) = x^2 의 포물선에서 y값에 -2를 곱한다. f(x) = -2(x+1)^2 의 그래프를 그리려면 f(x) = -2x^2 의 그래프를 왼쪽으로 1만큼 평행이동한다. f(x) = -2(x+1)^2 + 4 의 그래프를 그리려면 f(x) = -2(x+1)^2 의 그래프를 위쪽으로 4만큼 평행이동한다.

첫 번째 그래프는 xy좌표평면 위에 아래로 볼록한 포물선 하나를 보여 준다. 이것은 꼭짓점이 (0, 0)인 f(x) = x^2 의 그래프이다. 곡선 위의 다른 점으로 (-1, 1)과 (1, 1)이 있다. -2를 곱하면 다음 그래프로 넘어가는데, 처음의 f(x) = x^2 의 그래프와 폭이 더 좁아지고 위아래로 뒤집힌 새로운 f(x) = -2x^2 의 그래프가 나타나 있다. f(x) = -2x^2 의 그래프를 왼쪽으로 1만큼 평행이동하면 다음 그래프로 넘어가는데, 처음의 f(x) = x^2, f(x) = -2x^2, 그리고 왼쪽으로 1만큼 이동하여 만든 f(x) = -2(x+1)^2 의 곡선이 나타나 있다. f(x) = -2(x+1)^2 의 그래프를 위쪽으로 4만큼 평행이동하면 마지막 그래프로 넘어가는데, 처음의 f(x) = x^2, f(x) = -2x^2, f(x) = -2(x+1)^2 의 그래프와, 위쪽으로 4만큼 이동하여 만든 f(x) = -2(x+1)^2 + 4 의 곡선이 나타나 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Step 1. Rewrite the function in f(x)=a(x−h)2+kf(x)=a{(x-h)}^{2}+k vertex form by completing the square.
The quadratic function f(x) = -2x^2 - 4x + 2 is displayed on a white background.
Separate the x terms from the constant. A mathematical equation for a quadratic function is displayed, reading f(x) = -2x^2 - 4x + 2.
We need the coefficient of x2{x}^{2} to be one. We factor −2-2 from the x-terms. A mathematical equation is displayed, showing a function f(x) = -2(x^2 + 2x) + 2. This is a quadratic function written in a form that can be simplified or used for completing the square.
Take half of 2 and then square it to complete the square. (12⋅2)2=1{\left(\frac{1}{2}\cdot 2\right)}^{2}=1
We add 1 to complete the square in the parentheses, but the parentheses is multiplied by −2-2. Se we are really adding −2-2. To not change the value of the function we add 2. An algebraic expression f(x) = -2(x^2 + 2x + 1) + 2 + 2, highlighting the addition of 1 inside the parenthesis and the compensating addition of 2 outside, as shown by the red numbers and arrow.
Rewrite the trinomial as a square and subtract the constants. The image displays the equation of a quadratic function in vertex form: f(x) = -2(x + 1)^2 + 4.
The function is now in the f(x)=a(x−h)2+kf(x)=a{(x-h)}^{2}+k form. Two equations for quadratic functions, with the general vertex form f(x) = a(x - h)^2 + k shown in red, and a specific example f(x) = -2(x + 1)^2 + 4 in black.

Step 2. Graph the function using transformations.

F of x equals x squared is given with an arrow coming from it pointing to f of x equals negative 2 times x squared with an arrow coming from it pointing to f of x equals negative 2 times the quantity x plus 1 squared. An arrow come from it to point to f of x equals negative 2 times the quantity x plus 1 squared plus 4. The next line says a equals negative 2 which means multiply the y-values by negative 2, then h equals negative 1 which means shift left 1 unit and k equals 4 which means shift up 4 units

We first draw the graph of f(x)=x2f(x)={x}^{2} on the grid.

To graph f of x equals negative 2 times x squared, multiply the y-values in parabola of f of x equals x squared by negative 2. To graph f of x equals negative 2 times the quantity x plus 1 squared, shift the graph of f of x equals negative 2 times x squared to the left 1 unit. To graph f of x equals negative 2 times the quantity x plus 1 squared plus 4, shift the graph of f of x equals negative 2 times the quantity x plus 1 squared up 4 units.

The first graph shows 1 upward-opening parabola on the x y-coordinate plane. It is the graph of f of x equals x squared which has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). By multiplying by negative 2, move to the next graph showing the original f of x equals x squared and the new slimmer and flipped graph of f of x equals negative 2 x squared. By shifting that graph of f of x equals negative 2 times x squared left 1, we move to the next graph, which shows the original f of x equals x squared, f of x equals negative 2 x squared, and then another curve moved left 1 unit to produce f of x equals negative 2 times the quantity of x plus 1 squared. By moving f of x equals negative 2 times the quantity of x plus 1 squared up 4, we move to the final graph, which shows the original f of x equals x squared, f of x equals negative 2 x squared, and the f of x equals negative 2 times the quantity of x plus 1 squared, then another curve moved up 4 to produce f of x equals negative 2 times the quantity of x plus 1 squared plus 4.

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