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이차함수와 그래프

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 7번우리말 번역

완전제곱식을 이용하여 f(x)=−3x2−6x−1f(x)=-3{x}^{2}-6x-1 을 f(x)=a(x−h)2+kf(x)=a{(x-h)}^{2}+k 꼴로 나타내세요.

영어 원문 보기

Rewrite f(x)=−3x2−6x−1f(x)=-3{x}^{2}-6x-1 in the f(x)=a(x−h)2+kf(x)=a{(x-h)}^{2}+k form by completing the square.

정답·풀이 보기
수학 방정식이 나와 있으며, 함수 f(x)가 -3x^2 - 6x - 1과 같다고 되어 있다. 이 이차방정식은 흰 배경 위에 또렷한 디지털 글꼴로 표시되어 있다.
xx 항과 상수항을 분리한다. 흰 배경 위에 검은 글씨로 'f(x) = -3x^2 - 6x - 1'이라는 수학 방정식이 표시되어 있다.
x2{x}^{2} 의 계수 −3-3 으로 묶는다. 이차함수 f(x) = -3(x^2 + 2x) - 1이 나타나 있다.
완전제곱식을 만들 준비를 한다. 방정식 f(x) = -3(x^2 + 2x) - 1이 나와 있으며, '2x' 뒤에 빈칸이 있어 완성되지 않은 식임을 나타낸다. 완전제곱식을 만들기 위한 것으로 보인다.
2의 절반을 구한 다음 제곱하여 완전제곱식을 만든다. (12⋅2)2=1{\left(\frac{1}{2}\cdot 2\right)}^{2}=1
상수 1 이 괄호 안을 완전제곱식으로 만들지만, 괄호는 −3-3 과 곱해져 있다. 따라서 실제로는 −3-3 을 더한 것이 된다. 함수의 값이 변하지 않도록 3 을 더해 주어야 한다. 수학 방정식 f(x) = -3(x^2 + 2x + 1) - 1 + 3이다. 괄호 안에 1을 더하면 -3이 곱해지므로, 식의 균형을 맞추기 위해 괄호 밖에서 3을 더해야 함을 보여 준다.
삼항식을 제곱의 꼴로 고쳐 쓰고 상수끼리 뺀다. 흰 배경 위에 수학 방정식이 표시되어 있다. 방정식은 f(x) = -3(x + 1)^2 + 2이다. 이는 꼭짓점 꼴로 나타낸 이차함수이다.
이제 함수가 f(x)=a(x−h)2+kf(x)=a{(x-h)}^{2}+k 꼴이 되었다. 두 개의 수학 방정식이 표시되어 있다. 하나는 이차함수의 꼭짓점 꼴인 f(x) = a(x - h) ^2 + k이고, 그 뒤에 구체적인 예인 f(x) = -3(x + 1) ^2 + 2가 이어진다.
원본 교재 풀이(영어)
A mathematical equation is presented, showing the function f(x) equal to -3x^2 - 6x - 1. This quadratic equation is displayed in a clear, digital font on a white background.
Separate the x terms from the constant. A mathematical equation is displayed on a white background, reading 'f(x) = -3x^2 - 6x - 1' in black text.
Factor the coefficient of x2{x}^{2}, −3-3. The image displays the quadratic function f(x) = -3(x^2 + 2x) - 1.
Prepare to complete the square. The equation f(x) = -3(x^2 + 2x) - 1 is shown, with a blank space after '2x' indicating an incomplete expression, possibly for completing the square.
Take half of 2 and then square it to complete the square. (12⋅2)2=1{\left(\frac{1}{2}\cdot 2\right)}^{2}=1
The constant 1 completes the square in the parentheses, but the parentheses is multiplied by −3-3. So we are really adding −3-3 We must then add 3 to not change the value of the function. A mathematical equation f(x) = -3(x^2 + 2x + 1) - 1 + 3. It demonstrates how adding 1 inside the parenthesis, multiplied by -3, means you must add 3 outside to balance the expression.
Rewrite the trinomial as a square and subtract the constants. A mathematical equation is displayed against a white background. The equation reads: f(x) = -3(x + 1)^2 + 2. It represents a quadratic function in vertex form.
The function is now in the f(x)=a(x−h)2+kf(x)=a{(x-h)}^{2}+k form. Two mathematical equations are displayed: the vertex form of a quadratic function, f(x) = a(x - h) ^2 + k, followed by a specific example, f(x) = -3(x + 1) ^2 + 2.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 17번우리말 번역

다음 문제에서 변환을 이용하여 각 함수의 그래프를 그리세요.

f(x)=(x+2)2+1f(x)={(x+2)}^{2}+1

다 풀었으면 정답 확인

이 그림은 x y-좌표평면 위에서 위로 열린 포물선을 보여 준다. 꼭짓점은 (-2, 1)이고, 다른 점으로 (-4, 5)와 (0, 5)를 지난다.

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