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문제 은행 · 기초 수학 · 공통수학1 · 방정식과 부등식

여러 가지 부등식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 9.8절 · 1번우리말 번역

x2−6x+8<0{x}^{2}-6x+8<0 을 그래프를 이용하여 푸세요. 해를 구간 표기로 나타내세요.

영어 원문 보기

Solve x2−6x+8<0{x}^{2}-6x+8<0 graphically. Write the solution in interval notation.

정답·풀이 보기

그림은 3개의 열로 이루어진 표이다. 첫째 열은 1단계: 이차부등식을 일반형으로 나타낸다. 둘째 열은 부등식이 일반형임을 나타낸다. 셋째 열은 x의 제곱 빼기 6 곱하기 x 더하기 8이 0보다 작다고 나타낸다.

그림은 3개의 열로 이루어진 표이다. 첫째 열은 2단계: 성질 또는 변환을 이용하여 함수 f(x)=a 곱하기 x의 제곱 더하기 b 곱하기 x 더하기 c 의 그래프를 그린다고 나타낸다. 둘째 열은 지시 사항을 제시하고, 셋째 열은 3단계의 과정을 다음과 같이 보여 준다. 성질을 이용하여 그래프를 그린다. 함수는 f(x)=x의 제곱 빼기 6 곱하기 x 더하기 8 이고, a는 1, b는 음의 6, c는 8이다. 함수 f(x)=x의 제곱 빼기 6 곱하기 x 더하기 8 에서 a를 살펴본다. a가 양수이므로 포물선은 아래로 볼록하다. 대칭축의 방정식은 직선 x=−b/(2a) 이므로, x는 음의 (음의 6)을 2 곱하기 1로 나눈 값이다. x는 3이다. 대칭축은 직선 x=3 이다. 꼭짓점은 대칭축 위에 있다. 함수에 x=3 을 대입하면 f(3)=3의 제곱 빼기 6 곱하기 3 더하기 8 이다. f(3)은 −1 이므로 꼭짓점은 (3, −1) 이다. y절편을 구하기 위해 f(0)을 구하면, f(0)=0의 제곱 빼기 6 곱하기 0 더하기 8 이다. f(0)은 8 이므로 y절편은 (0, 8) 이다. 대칭축을 이용하여 y절편과 대칭인 점을 구한다. y절편은 대칭축 x=3 에서 왼쪽으로 3만큼 떨어져 있다. 대칭축에서 오른쪽으로 3만큼 떨어진 점은 x가 6이다. y절편과 대칭인 점은 (6, 8) 이다. x절편을 구하기 위해 f(x)=0 을 푼다. 이 이차방정식은 인수분해로 풀 수 있다. 0은 x의 제곱 빼기 6 곱하기 x 더하기 8 과 같고, 0은 (x 빼기 2) 곱하기 (x 빼기 4) 와 같으며, x는 2 또는 x는 4이다. x절편은 (2, 0) 과 (4, 0) 이다. 꼭짓점, 절편, y절편과 대칭인 점을 그래프에 나타낸다. 이 5개의 점을 이어 이 과정으로 구한 점들을 지나는, 아래로 볼록한 포물선을 그린다.

그림은 3개의 열로 이루어진 표이다. 첫째 열은 3단계: 그래프에서 해를 구한다고 나타낸다. 둘째 열은 지시 사항을 제시한다. x의 제곱 빼기 6x 더하기 8이 0보다 작다. 이 부등식은 함수의 값이 0보다 작게 되는 x의 값을 구하라는 것이다. 즉 포물선이 x축 아래에 있게 하는 x의 값이다. 부등식이 엄밀한 부등호(&lt;)이므로 2와 4는 포함하지 않는다. 셋째 열은 해를 구간 표기로 나타내면 (2, 4)라고 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

The figure is a table with 3 columns. The first column is Step 1: Write the quadratic inequality in standard form. The second column says the inequality is in standard form. The third column says x squared minus 6 times x plus 8 less than 0.

The figure is a table with 3 columns. The first column says Step 2-Graph the function f of x equals a times x squared plus b times x plus c using properties or transformations. The second column gives instructions and the third column shows the work for step 3 as follows. We will graph using properties. The function is f of x equals x squared minus 6 times x plus 8 where a equals 1, b equals negative 6, and c equals 8. Look at a in the function f of x equals x squared minus 6 times x plus 8. Since a is positive, the parabola opens upward. The equation of the axis of symmetry is the line x equals negative b divided by 2 times a, so x equals negative negative 6 divided by 2 times 1. X equals 3. The axis of symmetry is the line x equals 3. The vertex is on the axis of symmetry. Substitute x equals 3 into the function, so f of 3 equals 3 squared minus 6 times 3 plus 8. F of 3 equals negative 1, so the vertex is (3, negative 1). We find f of 0 in order to find the y-intercept, so f of 0 equals 0 squared minus 6 times 0 plus 8. F of 0 equals 8, so the y intercept is (0, 8). We use the axis of symmetry to find a point symmetric to the y-intercept. The y-intercept is 3 units left of the axis of symmetry, x equals 3. A point 3 units to the right of the axis of symmetry has x equals 6. Point symmetric to y-intercept is (6, 8). We solve f of x equals 0 in order to find the x-intercepts. We can solve this quadratic equation by factoring. 0 equals x squared minus 6 times x plus 8, 0 equals the quantity x minus 2 times the quantity x minus 4, x equals 2 or x equals 4. The x-intercepts are (2, 0) and (4, 0). We graph the vertex, intercepts, and the point symmetric to the y-intercept. We connect these 5 points to sketch the parabola shown that is upward-facing with the points found through this process.

The figure is a table with 3 columns. The first column says Step 3- Determine the solution from the graph. The second column gives instructions. X squared minus 6 x plus 8 less than 0. The inequality asks for the values of x which make the function less than 0. Which values of x make the parabola below the x-axis. We do not include the values 2, 4 as the inequality is strictly less than. The third column says The solution, in interval notation, is (2, 4).

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 3.4절 · 2번우리말 번역

이 그래프에 나타난 경계선은 y=2x−1y=2x-1 입니다. 그래프가 나타내는 부등식을 쓰세요.

이 그림은 xy좌표평면 위에 그려진 곧은 실선의 그래프이다. x축과 y축은 모두 -8에서 8까지이다. 곧은 실선이 점 (0, -1), (1, 1), (2, 3)을 지나도록 그려져 있다. 이 직선은 xy좌표평면을 두 부분으로 나눈다. 왼쪽 위 부분이 빨간색으로 칠해져 있으며, 이곳이 부등식의 해가 되는 영역임을 나타낸다.

다 풀었으면 정답 확인

직선 y=2x−1y=2x-1 이 경계선이다. 직선의 한쪽에는 y>2x−1y>2x-1 인 점들이 있고, 다른 쪽에는 y<2x−1y<2x-1 인 점들이 있다.

점 (0,0)(0,0) 을 시험해 보고, 이 점이 경계선에 대해 놓인 위치를 어느 부등식이 나타내는지 확인하자.

(0,0)(0,0) 에서 y>2x−1y>2x-1 과 y<2x−1?y<2x-1? 중 어느 부등식이 참인가?

y>2x−1y<2x−10>?2⋅0−10<?2⋅0−10>−1 참0<−1 거짓\begin{array}{cccccc}y>2x-1 & & & & & y<2x-1 \\ 0\overset{?}{>}2\cdot 0-1 & & & & & 0\overset{?}{<}2\cdot 0-1 \\ 0>-1\,\text{참} & & & & & 0<-1\,\text{거짓}\end{array}

y>2x−1y>2x-1 이 참이므로, 점 (0,0)(0,0) 이 있는 쪽이 해의 영역이다. 색칠한 영역은 부등식 y>2x−1y>2x-1 의 해를 나타낸다.

경계선이 실선으로 그려져 있으므로, 이 부등식은 등호를 포함한다.

따라서 그래프가 나타내는 부등식은 y≥2x−1y\ge 2x-1 이다.

직선 위에 있지 않은 점이면 어떤 점이든 시험점으로 사용할 수 있다. 그런데 왜 (0,0)?(0,0)? 을 택했을까? 값을 구하기 가장 쉽기 때문이다. 경계선의 반대쪽에 있는 점을 골라 y<2x−1y<2x-1 이 성립하는지 확인해 보아도 좋다.

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