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문제 은행 · 기초 수학 · 공통수학1 · 방정식과 부등식

여러 가지 부등식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 9.8절 · 4번우리말 번역

−x2+6x−7≥0{-x}^{2}+6x-7\ge 0 을 대수적으로 푸세요. 해를 구간 표기로 나타내세요.

영어 원문 보기

Solve −x2+6x−7≥0{-x}^{2}+6x-7\ge 0 algebraically. Write the solution in interval notation.

정답·풀이 보기
이차부등식을 일반형으로 쓴다. −x2+6x−7≥0-{x}^{2}+6x-7\ge 0
부등식의 양변에 −1-1 을 곱한다. 이때 부등호의 방향이 바뀜에 유의한다. x2−6x+7≤0\quad {x}^{2}-6x+7\le 0
관련된 이차방정식을 풀어 구간을 나누는 수를 구한다. x2−6x+7=0\quad {x}^{2}-6x+7=0
근의 공식을 쓴다. x=−b±b2−4ac2a\quad x=\frac{-b\pm \sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}
a,b,ca,b,c 의 값을 대입한다. x=−(−6)±(−6)2−4⋅1⋅(7)2⋅1\quad x=\frac{-(-6)\pm \sqrt{{(-6)}^{2}-4\cdot 1\cdot (7)}}{2\cdot 1}
간단히 한다. x=6±82\quad x=\frac{6\pm \sqrt{8}}{2}
근호를 간단히 한다. x=6±222\quad x=\frac{6\pm 2\sqrt{2}}{2}
공통인수 2를 약분한다. x=2(3±2)2\quad x=\frac{2\left(3\pm \sqrt{2}\right)}{2} x=3±2\quad x=3\pm \sqrt{2} x=3+2x=3−2\quad x=3+\sqrt{2}\quad x=3-\sqrt{2} x≈1.6x≈4.4\quad x\approx 1.6\quad x\approx 4.4
구간을 나누는 수로 수직선을 여러 구간으로 나눈다. 각 구간에서 수를 하나씩 골라 처음 부등식에 대입해 본다. 수직선 위에서 이차식 -x^2 + 6x - 7 의 부호를 조사한 그림이다. 3-sqrt(2) (약 1.6)와 3+sqrt(2) (약 4.4) 사이에서는 양수이고, 그 밖에서는 음수임을 보여 준다.
부등식이 성립하는 구간을 찾는다. 해를 구간 표기로 나타낸다. −x2+6x−7≥0-{x}^{2}+6x-7\ge 0 은 가운데 구간 [3−2, 3+2]\left[3-\sqrt{2},\,3+\sqrt{2}\right] 에서 성립한다
원본 교재 풀이(영어)
Write the quadratic inequality in standard form. −x2+6x−7≥0-{x}^{2}+6x-7\ge 0
Multiply both sides of the inequality by −1-1. Remember to reverse the inequality sign. x2−6x+7≤0\quad {x}^{2}-6x+7\le 0
Determine the zero partition numbers by solving the related quadratic equation. x2−6x+7=0\quad {x}^{2}-6x+7=0
Write the Quadratic Formula. x=−b±b2−4ac2a\quad x=\frac{-b\pm \sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}
Then substitute in the values of a,b,ca,b,c. x=−(−6)±(−6)2−4⋅1⋅(7)2⋅1\quad x=\frac{-(-6)\pm \sqrt{{(-6)}^{2}-4\cdot 1\cdot (7)}}{2\cdot 1}
Simplify. x=6±82\quad x=\frac{6\pm \sqrt{8}}{2}
Simplify the radical. x=6±222\quad x=\frac{6\pm 2\sqrt{2}}{2}
Remove the common factor, 2. x=2(3±2)2\quad x=\frac{2\left(3\pm \sqrt{2}\right)}{2} x=3±2\quad x=3\pm \sqrt{2} x=3+2x=3−2\quad x=3+\sqrt{2}\quad x=3-\sqrt{2} x≈1.6x≈4.4\quad x\approx 1.6\quad x\approx 4.4
Use the zero partition numbers to divide the number line into intervals. Test numbers from each interval in the original inequality. Sign analysis of the quadratic expression -x^2 + 6x - 7 on a number line, showing it's positive between 3-sqrt(2) (approx 1.6) and 3+sqrt(2) (approx 4.4), and negative elsewhere.
Determine the intervals where the inequality is correct. Write the solution in interval notation. −x2+6x−7≥0-{x}^{2}+6x-7\ge 0 in the middle interval [3−2, 3+2]\left[3-\sqrt{2},\,3+\sqrt{2}\right]

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 3.4절 · 1번우리말 번역

각 순서쌍이 부등식 y>x+4:y>x+4: 의 해인지 판단하세요.

ⓐ (0,0)(0,0) ⓑ (1,6)(1,6) ⓒ (2,6)(2,6) ⓓ (−5,−15)(-5,-15) ⓔ (−8,12)(-8,12)

다 풀었으면 정답 확인

ⓐ
(0,0)(0,0) 검은 글씨로 흰 배경 위에 부등식 'y > x + 4'가 표시되어 있다.
'x에 0을, y에 0을 대입하세요.'라는 안내 문장이 있으며, 첫 번째 '0'은 빨간색, 두 번째 '0'은 하늘색이다. \quad 식 '0 >? 0 + 4'는 0이 4보다 큰지 묻고 있으며, 부등호 위에 물음표가 있다.
간단히 하세요. 흰 배경 위에 수식 '0 은 4보다 크거나 같지 않다'가 표시되어 있다.
따라서 (0,0)(0,0) 은 y>x+4y>x+4 의 해가 아니다.

ⓑ
(1,6)(1,6) 부등식 y > x + 4가 나타나 있다.
흰 배경 위에 'x에 1을, y에 6을 대입하세요'라는 글이 표시되어 있다. 숫자 1은 빨간색, 숫자 6은 하늘색으로 강조되어 있다. \quad 물음표가 붙은 부등식 6 > 1 + 4로, 6이 1과 4의 합보다 정말 큰지 계산해 보도록 하고 있다.
간단히 하세요. 6이 5보다 크다는 것을 나타내는 간단한 부등식 '6 > 5'가 흰 배경 위에 굵은 짙은 회색 글씨로 표시되어 있다.
따라서 (1,6)(1,6) 은 y>x+4y>x+4 의 해이다.

ⓒ
(2,6)(2,6) 흰 배경 위에 검은 글씨로 부등식 y > x + 4가 표시되어 있으며, 이는 좌표평면에서 직선 y = x + 4 의 위쪽 영역을 나타낸다.
x에 2를, y에 6을 대입하세요. \quad 부등호 위에 물음표가 있는 부등식 '6 > 2 + 4'가 나타나 있으며, 이 식이 참인지 묻고 있다. 숫자 6은 파란색, 2는 빨간색이다.
간단히 하세요. "6은 6보다 크지 않다"
따라서 (2,6)(2,6) 은 y>x+4y>x+4 의 해가 아니다.

ⓓ
(−5,−15)(-5,-15) 흰 배경 위에 부등식 'y > x + 4'가 표시되어 있다.
x에 -5를, y에 -15를 대입하세요. -15가 -5 + 4보다 큰지 판단하는 부등식 문제로, 부등호 위에 물음표가 있어 이 식이 성립하는지 확인하도록 하고 있다.
간단히 하세요. 부등식 -15 는 -1보다 크거나 같지 않다가 나타나 있으며, 이는 -15 < -1과 같다.
따라서 (−5,−15)(-5,-15) 는 y>x+4y>x+4 의 해가 아니다.

ⓔ
(−8,12)(-8,12) 흰 배경 위에 검은 글씨로 부등식 y > x + 4가 표시되어 있다.
'x에 -8을, y에 12를 대입하세요.'라는 안내 문장이 있으며, -8은 빨간색, 12는 하늘색으로 강조되어 있다.  \, 흰 배경 위에 '12 > ? -8 + 4'라는 부등식이 나타나 있다. 숫자 '12'는 하늘색, '-8'은 빨간색이며, 물음표는 부등호 위에 있다.
간단히 하세요. 간단하고 또렷한 글씨로 흰 배경 위에 부등식 '12 > -4'가 표시되어 있다.
따라서 (−8,12)(-8,12) 는 y>x+4y>x+4 의 해이다.
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