극한의 성질과 계산 연습문제 — OpenStax 1권 · 2장 복습 · 16번

OpenStax 1권 · 2장 복습 · 16번우리말 번역

다음 문제에서 조임 정리를 이용하여 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to 0}{x}^{2}\cos (2\pi x)=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the squeeze theorem to prove the limit.

$\lim_{x\to 0}{x}^{2}\cos (2\pi x)=0$

정답·풀이 보기

$-1\le \cos (2\pi x)\le 1$ 이므로 $-{x}^{2}\le {x}^{2}\cos (2\pi x)\le {x}^{2}$ 이다. $\lim_{x\to 0}{x}^{2}=0=\lim_{x\to 0}-{x}^{2}$ 이므로 $\lim_{x\to 0}{x}^{2}\cos (2\pi x)=0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $-1\le \cos (2\pi x)\le 1,$ then $-{x}^{2}\le {x}^{2}\cos (2\pi x)\le {x}^{2}.$ Since $\lim_{x\to 0}{x}^{2}=0=\lim_{x\to 0}-{x}^{2},$ it follows that $\lim_{x\to 0}{x}^{2}\cos (2\pi x)=0.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 2.3절 · 15번우리말 번역

다음 문제에서 직접 대입(치환)을 이용하여 각 극한이 부정형 $0/0$ 이 됨을 보이세요. 그런 다음 극한을 구하세요.

$\lim_{t\to 9}\frac{t-9}{\sqrt{t}-3}$

다 풀었으면 정답 확인

$\lim_{x\to 9}\frac{t-9}{\sqrt{t}-3}=\frac{9-9}{3-3}=\frac{0}{0}$ 이다. 그러면 $\lim_{t\to 9}\frac{t-9}{\sqrt{t}-3}=\lim_{t\to 9}\frac{t-9}{\sqrt{t}-3}\frac{\sqrt{t}+3}{\sqrt{t}+3}=\lim_{t\to 9}\left(\sqrt{t}+3\right)=6$

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