함수의 극한의 뜻 연습문제 — OpenStax 1권 · 2.1절 · 13번

OpenStax 1권 · 2.1절 · 13번우리말 풀이

[계산기 사용] 다음 표를 알맞은 값으로 채우세요. $y$ 좌표, 점 $Q(x,y)$ , 그리고 두 점 $P$ , $Q$ 를 지나는 할선의 기울기 $m_{\text{sec}}$ 를 구합니다. 답은 유효숫자 8자리로 반올림하세요.

x	y	$Q(x,y)$	m_sec
−1.05	a.	e.	i.
−1.01	b.	f.	j.
−1.005	c.	g.	k.
−1.001	d.	h.	l.

영어 원문 보기

[T] Complete the following table with the appropriate values: y-coordinate of Q, the point $Q(x,y),$ and the slope of the secant line passing through points P and Q. Round your answer to eight significant digits.

x	y	$Q(x,y)$	m_sec
−1.05	a.	e.	i.
−1.01	b.	f.	j.
−1.005	c.	g.	k.
−1.001	d.	h.	l.

풀이 보기

점 Q 를 점 P 에 가까이 보낼수록 할선의 기울기가 어떤 값에 다가가는지 표로 살펴보는 문제예요.

1
어떤 함수와 점인지 먼저 확인해요. 이 문제에는 함수와 점 $P$ 가 나와 있지 않지만, 원본 정답의 값( $-0.95238095$ 등)을 보면 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 이고 $P(-1,-1)$ 임을 알 수 있어요. (앞 문제에서 주어진 조건으로 보여요.)
2
$y$ 좌표(a~d)를 구해요. 점 $Q$ 는 곡선 위의 점이니까 $y=\dfrac{1}{x}$ 에 $x$ 값을 넣으면 돼요.
- $x=-1.05$ 일 때 $y=\dfrac{1}{-1.05}\approx -0.95238095$
- $x=-1.01$ 일 때 $y\approx -0.99009901$
- $x=-1.005$ 일 때 $y\approx -0.99502488$
- $x=-1.001$ 일 때 $y\approx -0.99900100$
3
점 $Q(x,y)$ (e~h)를 적어요. 위에서 구한 $x$ 와 $y$ 를 짝지으면 돼요.
- $Q(-1.05,\,-0.95238095)$
- $Q(-1.01,\,-0.99009901)$
- $Q(-1.005,\,-0.99502488)$
- $Q(-1.001,\,-0.99900100)$
4
할선의 기울기(i~l)를 구해요. 두 점 $P(-1,-1)$ , $Q(x,y)$ 를 지나는 직선의 기울기는 $m_{\text{sec}}=\dfrac{y-(-1)}{x-(-1)}=\dfrac{y+1}{x+1}$ 이에요.

$x=-1.05$ 이면 $\dfrac{-0.95238095+1}{-1.05+1}=\dfrac{0.04761905}{-0.05}\approx -0.95238095$ 예요.

사실 $y=\dfrac1x$ 를 넣어 정리하면 $m_{\text{sec}}=\dfrac{\frac1x+1}{x+1}=\dfrac{\frac{1+x}{x}}{x+1}=\dfrac1x$ 라서 기울기는 $y$ 값과 똑같아요.
5
표에서 알 수 있는 것을 정리해요. $x$ 가 $-1$ 에 가까워질수록 $m_{\text{sec}}$ 는 $-1$ 에 가까워져요. 이 값이 점 $P$ 에서의 접선의 기울기를 짐작하게 해 줘요.

답

(a) $-0.95238095$ (b) $-0.99009901$ (c) $-0.99502488$ (d) $-0.99900100$ / (e)~(h) $Q$ 는 각각 $(-1.05,-0.95238095)$ , $(-1.01,-0.99009901)$ , $(-1.005,-0.99502488)$ , $(-1.001,-0.99900100)$ / (i)~(l) 기울기는 (a)~(d) 와 같은 값

자주 하는 실수

할선의 기울기를 구할 때 $x$ 값 대신 $x+1$ 이어야 하는 분모에 $x$ 를 그대로 넣거나, 부호를 빠뜨려요.

원본 교재 풀이(영어)

a. −0.95238095; b. −0.99009901; c. −0.99502488; d. −0.99900100; e. (−1;.0500000,−0;.95238095); f. (−1;.0100000,−0;.9909901); g. (−1;.0050000,−0;.99502488); h. (1.0010000,−0;.99900100); i. −0.95238095; j. −0.99009901; k. −0.99502488; l. −0.99900100

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.3절 · 2번우리말 번역

아래에 주어진 함수에 대하여 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

극한은 존재하지 않는다. $x$ 가 0 에 왼쪽에서 가까워질 때 $y$ 는 -1 에 가까워지고, $x$ 가 0 에 오른쪽에서 가까워질 때 $y$ 는 1 에 가까워진다. 이는 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)=-1$ 이고 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)=1$ 임을 뜻하지만, 이 둘은 모두 문제에서 물은 것이 아니다. 왼쪽 극한과 오른쪽 극한이 서로 같지 않으므로 극한은 존재하지 않는다. 달리 말하면, $x$ 가 0 에 가까워질 때 $y$ 가 가까워지는 하나의 수가 없으므로 극한 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ 는 존재하지 않는다.

이 문제로 이어서 풀기

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석보통