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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

함수의 극한의 뜻

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 2.2절 · 48번우리말 번역

다음 문제에서, 주어진 성질을 갖는 함수의 그래프를 그리세요.

Asx→−∞,f(x)→0,lim⁡x→−1−f(x)=−∞,As x\to -\infty , f(x)\to 0,\lim_{x\to {-1}^{-}}f(x)=-\infty , lim⁡x→−1+f(x)=∞,lim⁡x→0f(x)=f(0),f(0)=1,Asx→∞,f(x)→−∞\lim_{x\to {-1}^{+}}f(x)=\infty ,\lim_{x\to 0}f(x)=f(0),f(0)=1, As x\to \infty , f(x)\to -\infty

영어 원문 보기

In the following exercises, sketch the graph of a function with the given properties.

Asx→−∞,f(x)→0,lim⁡x→−1−f(x)=−∞,As x\to -\infty , f(x)\to 0,\lim_{x\to {-1}^{-}}f(x)=-\infty , lim⁡x→−1+f(x)=∞,lim⁡x→0f(x)=f(0),f(0)=1,Asx→∞,f(x)→−∞\lim_{x\to {-1}^{+}}f(x)=\infty ,\lim_{x\to 0}f(x)=f(0),f(0)=1, As x\to \infty , f(x)\to -\infty

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다.

두 부분으로 이루어진 구간별로 정의된 함수의 그래프이다. 첫 번째 부분은 제3사분면에 있으며, y축을 따라 음의 무한대로, x축을 따라 0으로 점근한다. 두 번째 부분은 두 곡선으로 이루어져 있다. 첫 번째 곡선은 꼭짓점이 (0,1)인 아래로 볼록한 포물선의 왼쪽 절반으로 보인다. 두 번째 곡선은 마찬가지로 꼭짓점이 (0,1)인 위로 볼록한 포물선의 오른쪽 절반으로 보인다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

A graph of a piecewise function with two segments. The first segment is in quadrant three and asymptotically goes to negative infinity along the y axis and 0 along the x axis. The second segment consists of two curves. The first appears to be the left half of an upward opening parabola with vertex at (0,1). The second appears to be the right half of a downward opening parabola with vertex at (0,1) as well.

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 1.2절 · 11번우리말 번역

번지 점프를 하는 한 사람이 시각 t=0t=0 에 탑에서 뛰어내린다. 시각 tt 초에서 그녀의 높이 ss 피트는 s(t)=100cos⁡(0.75t)⋅e−0.2t+100s(t) = 100\cos(0.75t) \cdot e^{-0.2t}+100 으로 주어진다.

(a) 구간 [1,1+h][1,1+h] 에서 번지 점프를 하는 사람의 평균 속도를 나타내는 식을 쓰세요. (b) 계산 도구를 사용하여 (a)에서 구한 식의 h→0h \to 0 일 때의 극한값을 어림하세요. (c) (b)에서 구한 극한값이 무엇을 뜻하는지 설명하세요. 그 단위는 무엇인지 말하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 평균 속도의 일반적인 공식을 이용하면 다음과 같다. AV[1,1+h]=s(1+h)−s(1)h=(100cos⁡(0.75(1+h))⋅e−0.2(1+h)+100)−(100cos⁡(0.75)⋅e−0.2+100)h=100cos⁡(0.75(1+h))⋅e−0.2(1+h)+100−100cos⁡(0.75)⋅e−0.2−100)h=100cos⁡(0.75(1+h))⋅e−0.2(1+h)−100cos⁡(0.75)⋅e−0.2h\begin{aligned}AV_{[1,1+h]} &= \frac{s(1+h)-s(1)}{h} \\ &= \frac{(100\cos(0.75(1+h)) \cdot e^{-0.2(1+h)}+100) - (100\cos(0.75) \cdot e^{-0.2}+100)}{h} \\ &= \frac{100\cos(0.75(1+h)) \cdot e^{-0.2(1+h)}+100 - 100\cos(0.75) \cdot e^{-0.2}-100)}{h} \\ &= \frac{100\cos(0.75(1+h)) \cdot e^{-0.2(1+h)} - 100\cos(0.75) \cdot e^{-0.2}}{h}\end{aligned} (b) 스프레드시트를 이용하여 식 AV[1,1+h]AV_{[1,1+h]} 에 작은 hh 의 값들을 대입하면 다음과 같다. h=0h=0 근처에서 AV[1,1+h]AV_{[1,1+h]} 의 값

hh AV[1,1+h]AV_{[1,1+h]}
0.10.1 −54.50145823-54.50145823
0.010.01 −53.90917396-53.90917396
0.0010.001 −53.84429251-53.84429251
0.00010.0001 −53.83774757-53.83774757
−0.1-0.1 −53.83629174-53.83629174
−0.01-0.01 −53.82973418-53.82973418
−0.001-0.001 −53.76359015-53.76359015
−0.0001-0.0001 −53.04508149-53.04508149
따라서
lim⁡h→0AV[1,1+h]≈−53.837 .\lim_{h \to 0} AV_{[1, 1+h]} \approx -53.837\,.
(c) lim⁡h→0AV[1,1+h]≈−53.837\lim_{h \to 0} AV_{[1, 1+h]} \approx -53.837 이므로, 이는 t=1t = 1 인 순간 번지 점프를 하는 사람의 순간 속도가 약 −53.837-53.837 ft/sec 임을 뜻한다.
이 문제로 이어서 풀기
# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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