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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

함수의 극한의 뜻

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 2.2절 · 6번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 값을 이용하여 표를 만들어 극한을 구하세요. 답을 반올림하여 소수 여덟째 자리까지 나타내세요.

[계산기 사용] lim⁡x→0sin⁡2xx; ±0.1,±0.01,±0.001,±.0001\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x};\,\pm 0.1,\pm 0.01,\pm 0.001,\pm .0001

x sin⁡2xx\frac{\sin 2x}{x} x sin⁡2xx\frac{\sin 2x}{x}
−0.1 a. 0.1 e.
−0.01 b. 0.01 f.
−0.001 c. 0.001 g.
−0.0001 d. 0.0001 h.
영어 원문 보기

In the following exercises, use the given values to set up a table to evaluate the limits. Round your solutions to eight decimal places.

[T] lim⁡x→0sin⁡2xx; ±0.1,±0.01,±0.001,±.0001\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x};\,\pm 0.1,\pm 0.01,\pm 0.001,\pm .0001

x sin⁡2xx\frac{\sin 2x}{x} x sin⁡2xx\frac{\sin 2x}{x}
−0.1 a. 0.1 e.
−0.01 b. 0.01 f.
−0.001 c. 0.001 g.
−0.0001 d. 0.0001 h.
정답·풀이 보기

a. 1.98669331; b. 1.99986667; c. 1.99999867; d. 1.99999999; e. 1.98669331; f. 1.99986667; g. 1.99999867; h. 1.99999999; lim⁡x→0sin⁡2xx=2\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x}=2

원본 교재 풀이(영어)

a. 1.98669331; b. 1.99986667; c. 1.99999867; d. 1.99999999; e. 1.98669331; f. 1.99986667; g. 1.99999867; h. 1.99999999; lim⁡x→0sin⁡2xx=2\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x}=2

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 1.2절 · 8번우리말 번역

함수 f(x)=16−x4x2−4f(x) = \frac{16-x^4}{x^2-4} 을 생각하세요.

(a) ff 의 정의역은 무엇인가요? (b) a=2a = 2 근처의 xx 값들의 수열을 이용하여, 극한이 존재한다고 생각하면 lim⁡x→2f(x)\lim_{x \to 2} f(x) 의 값을 어림하세요. 극한이 존재하지 않는다고 생각하면 그 이유를 설명하세요. (c) 대수적 방법으로 식 16−x4x2−4\frac{16-x^4}{x^2-4} 을 간단히 하고, 이를 이용하여 lim⁡x→2f(x)\lim_{x \to 2} f(x) 가 존재하면 그 값을 정확히 구하고, 존재하지 않으면 풀이 과정이 어떻게 극한이 존재하지 않음을 보여 주는지 설명하세요. 이 결과가 (b)의 결과와 어떻게 비교되는지 논하세요. (d) 참 또는 거짓: f(2)=−8f(2) = -8. 그 이유는 무엇인가요? (e) 참 또는 거짓: 16−x4x2−4=−4−x2\frac{16-x^4}{x^2-4} = -4-x^2. 그 이유는 무엇인가요? 이 등식은 함수 ff 에 대한 위의 풀이와 어떻게 연결되나요? (f) 위의 모든 풀이를 바탕으로 구간 [1,3][1,3] 에서 y=f(x)y = f(x) 의 정확하고 이름표가 붙은 그래프를 그리고, lim⁡x→216−x4x2−4\lim_{x \to 2} \frac{16-x^4}{x^2-4} 에 대해 이제 알게 된 것을 설명하는 문장을 한 문장 쓰세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) ff 는 x2−4=0x^2 - 4 = 0 이 되게 하는 xx 의 값을 제외한 모든 xx 에 대해 정의된다. 따라서 ff 의 정의역은 x=±2x = \pm 2 를 제외한 모든 실수의 집합이다. (b) 스프레드시트를 이용하여 다음 표를 만든다.

xx f(x)f(x)
2.12.1 −8.41-8.41
2.012.01 −8.0401-8.0401
2.0012.001 −8.004001-8.004001
1.9991.999 −7.996001-7.996001
1.991.99 −7.9601-7.9601
1.91.9 −7.61-7.61
수치의 경향으로 볼 때 lim⁡x→2f(x)=−8\lim_{x \to 2} f(x) = -8 임을 알 수 있다.
(c) f(x)f(x) 의 분자와 분모를 인수분해하면 다음을 알 수 있다.
16−x4x2−4=(4−x2)(4+x2)(x−2)(x+2)=(2−x)(2+x)(4+x2)(x−2)(x+2) .\frac{16-x^4}{x^2-4} = \frac{(4-x^2)(4+x^2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{(2-x)(2+x)(4+x^2)}{(x-2)(x+2)}\,. x→2x \to 2 일 때의 극한을 구할 때에는 2에 점점 가까워지지만 2와 같지는 않은 값을 택하므로
lim⁡x→216−x4x2−4=lim⁡x→2(2−x)(2+x)(4+x2)(x−2)(x+2)=lim⁡x→2−1(4+x2) ,\lim_{x \to 2} \frac{16-x^4}{x^2-4} = \lim_{x \to 2} \frac{(2-x)(2+x)(4+x^2)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to 2} -1(4+x^2)\,, 이다. 이는 x≠2x \ne 2 인 모든 xx 에 대해 2−xx−2=−1\frac{2-x}{x-2} = -1 이기 때문이다. 마지막으로 x→2x \to 2 일 때 마지막 극한을 계산하면
lim⁡x→216−x4x2−4=−1(4+22)=−8 .\lim_{x \to 2} \frac{16-x^4}{x^2-4} = -1(4+2^2) = -8\,. 이다.
(d) 거짓이다. (a)에서 f(2)f(2) 는 정의되지 않음을 보았다. 이제 xx 가 22 에 가까워질 때 ff 의 극한이 −8-8 임을 알지만, 여전히 f(2)f(2) 는 정의되지 않는다.
(e) 거짓이다. 이 등식은 22 또는 −2-2 가 아닌 xx 값에 대해서만 성립한다. 극한을 구할 때에는 xx 가 실제로 22 와 같아지지 않고 22 에 가까워지기만 하므로 이 등식을 사용할 수 있다.
(f) f(2)f(2) 는 정의되지 않지만 x→2x \to 2 일 때 ff 의 극한이 −8-8 이므로, 다음 그림과 같이 그래프는 점 (2,−8)(2,-8) 에 “구멍”이 있다.
구간 1 < x < 3 에서 함수 f(x) = (16-x^4)/(x^2-4) 의 그래프이다. 그래프는 점 (1,-5) 에서 (3,-13) 까지 감소하는 포물선처럼 보이지만, 작은 빈 원이 있다.
이 문제로 이어서 풀기
# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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