극한의 성질과 계산 연습문제 — OpenStax 1권 · 2.3절 · 23번

OpenStax 1권 · 2.3절 · 23번우리말 풀이

다음 문제에서는 직접 대입해서 정의되지 않는 식을 얻으세요. 그런 다음 (본문의) 방법을 써서 함수를 간단히 하고 극한을 구하세요.

$\lim_{x\to 1^{-}}\dfrac{2x^{2}+7x-4}{x^{2}+x-2}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to obtain an undefined expression. Then, use the method of (see text) to simplify the function to help determine the limit.

$\lim_{x\to {1}^{-}}\frac{2{x}^{2}+7x-4}{{x}^{2}+x-2}$

풀이 보기

분모만 $0$ 이 되고 분자는 $0$ 이 아니면 $\pm\infty$ 로 가요. 부호는 $x$ 가 $1$ 의 왼쪽에서 다가갈 때의 분모 부호로 정해요.

1
직접 대입해 봐요. $x=1$ 이면 분자는 $2+7-4=5$ , 분모는 $1+1-2=0$ 이라서 $\dfrac{5}{0}$ 로 정의되지 않아요.
2
인수분해해요. 분자는 $2x^2+7x-4=(2x-1)(x+4)$ , 분모는 $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$ 이에요. 약분할 공통 인수는 없어요.

$\frac{(2x-1)(x+4)}{(x+2)(x-1)}$
3
분자와 분모의 값이 어디로 가는지 봐요. $x\to1$ 일 때 분자 $(2x-1)(x+4)\to 1\cdot5=5$ (양수), $(x+2)\to3$ (양수) 예요. 문제는 분모의 $(x-1)$ 이에요.
4
왼쪽에서 다가갈 때의 부호를 확인해요. $x\to1^{-}$ 이면 $x<1$ 이므로 $x-1$ 은 아주 작은 음수예요. 그래서 전체는 $\dfrac{\text{양수}}{\text{(양수)}\times(\text{아주 작은 음수})}$ 로 절댓값이 한없이 커지는 음수가 돼요.

답

$-\infty$

자주 하는 실수

$\dfrac{5}{0}$ 을 보고 부호를 따지지 않은 채 그냥 $\infty$ 라고 써요.

원본 교재 풀이(영어)

−∞

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.4절 · 4번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ 이고 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\infty$ 를 만족시키는 두 함수 $f(x)$ , $g(x)$ 의 예를 하나 드세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 문제를 시작하는 한 가지 방법은 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x^2}=\infty$ 임을 떠올리는 것이다. ( $\dfrac{1}{x}$ 이 아니라 $\dfrac{1}{x^2}$ 을 쓰는 것이 중요한데, $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1}{x}$ 은 존재하지 않기 때문이다.) 이를 3만큼 “평행이동”하면 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{1}{(x-3)^2}=\infty$ 를 얻는다. 따라서 $\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{1}{(x-3)^2}$ 이 되도록 하면 충분하다. $f(x)=x-3$ , $g(x)=(x-3)^3$ 으로 잡으면 이를 이룰 수 있고, $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ 도 그대로 성립한다. 이 역시 가능한 여러 풀이 중 하나이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 극한의 성질과 계산계산보통