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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

좌극한과 우극한

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 2.3절 · 35번우리말 풀이

[계산기 사용] 다음 문제에서는 계산기로 각 조각 함수의 그래프를 그리고, 그래프를 살펴서 주어진 극한을 구하세요.

h(x)={x2−2x+1,x<23−x,x≥2h(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}-2x+1, & x<2 \\ 3-x, & x\ge 2\end{array}\right.

a. lim⁡x→2−h(x)\lim_{x\to 2^{-}}h(x) b. lim⁡x→2+h(x)\lim_{x\to 2^{+}}h(x)

영어 원문 보기

[T] In the following exercises, use a calculator to draw the graph of each piecewise-defined function and study the graph to evaluate the given limits.

h(x)={x2−2x+1,x<23−x,x≥2h(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^{2}-2x+1, & x<2 \\ 3-x, & x\ge 2\end{array}\right.

a. lim⁡x→2−h(x)\lim_{x\to {2}^{-}}h(x) b. lim⁡x→2+h(x)\lim_{x\to {2}^{+}}h(x)

풀이 보기

x=2x=2 의 왼쪽에서는 첫 번째 식을, 오른쪽에서는 두 번째 식을 써요.

  1. 1

    어느 식을 쓸지 정해요. x→2−x\to2^{-} 는 x<2x<2 이므로 x2−2x+1x^2-2x+1 을 써요. x→2+x\to2^{+} 는 x>2x>2 이므로 3−x3-x 를 써요.

  2. 2

    (a) 왼쪽 극한을 구해요. x2−2x+1x^2-2x+1 은 다항함수라 그냥 대입하면 돼요. 22−2⋅2+1=12^2-2\cdot2+1=1 이에요.

  3. 3

    (b) 오른쪽 극한을 구해요. 3−x3-x 에 x=2x=2 를 대입하면 3−2=13-2=1 이에요.

  4. 4

    그래프와 비교해요. 그래프에서 왼쪽 포물선과 오른쪽 직선이 모두 점 (2,1)(2,1) 에서 만나요. 두 극한이 같으니 lim⁡x→2h(x)=1\lim_{x\to2}h(x)=1 로 극한이 존재해요.

답

(a) 11 (b) 11

자주 하는 실수

조각 함수에서 두 식을 구분하지 않고 한 식에만 대입해요.

원본 교재 풀이(영어)

The graph of a piecewise function with two segments. The first segment is the parabola x^2 – 2x + 1, for x &lt; 2. It opens upward and has a vertex at (1,0). The second segment is the line 3-x for x&gt;= 2. It has a slope of -1 and an x intercept at (3,0).

a. 1; b. 1

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 2.3절 · 47번

[계산기 사용] 물리학에서 진공 속의 점전하가 거리 rr 떨어진 곳에 만드는 전기장의 크기는 쿨롱 법칙으로 정해져요. E(r)=q4πε0r2E(r)=\dfrac{q}{4\pi \varepsilon_{0}r^{2}} 이고, 여기서 EE 는 전기장의 크기, qq 는 입자의 전하, rr 은 입자와 전기장을 재는 곳 사이의 거리, 14πε0\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} 은 쿨롱 상수로 8.988×109 N⋅m2/C28.988\times 10^{9}\,\text{N}\cdot \text{m}^{2}/\text{C}^{2} 예요.

a. 입자의 전하가 q=10−10q=10^{-10} 일 때 그래픽 계산기로 E(r)E(r) 의 그래프를 그리세요. b. lim⁡r→0+E(r)\lim_{r\to 0^{+}}E(r) 를 구하세요. 이 양은 물리적으로 무슨 뜻일까요? 물리적으로 의미가 있을까요? 왜 오른쪽에서 다가가는 극한을 구할까요?

다 풀었으면 정답 확인

(a) E(r)=0.8988r2E(r)=\dfrac{0.8988}{r^2} 의 그래프(그림 참조) (b) ∞\infty. 입자에 가까워질수록 전기장이 한없이 커진다는 뜻이며, 이상화된 점전하에서만 나오는 값이라 현실적인 값은 아니에요. 거리는 음수가 될 수 없어 오른쪽에서만 다가가요.

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# 좌극한과 우극한그래프·표 해석기본

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