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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

좌극한과 우극한

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 2.3절 · 47번우리말 풀이

[계산기 사용] 물리학에서 진공 속의 점전하가 거리 rr 떨어진 곳에 만드는 전기장의 크기는 쿨롱 법칙으로 정해져요. E(r)=q4πε0r2E(r)=\dfrac{q}{4\pi \varepsilon_{0}r^{2}} 이고, 여기서 EE 는 전기장의 크기, qq 는 입자의 전하, rr 은 입자와 전기장을 재는 곳 사이의 거리, 14πε0\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} 은 쿨롱 상수로 8.988×109 N⋅m2/C28.988\times 10^{9}\,\text{N}\cdot \text{m}^{2}/\text{C}^{2} 예요.

a. 입자의 전하가 q=10−10q=10^{-10} 일 때 그래픽 계산기로 E(r)E(r) 의 그래프를 그리세요. b. lim⁡r→0+E(r)\lim_{r\to 0^{+}}E(r) 를 구하세요. 이 양은 물리적으로 무슨 뜻일까요? 물리적으로 의미가 있을까요? 왜 오른쪽에서 다가가는 극한을 구할까요?

영어 원문 보기

[T] In physics, the magnitude of an electric field generated by a point charge at a distance r in vacuum is governed by Coulomb’s law: E(r)=q4πε0r2,E(r)=\frac{q}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}^{2}}, where E represents the magnitude of the electric field, q is the charge of the particle, r is the distance between the particle and where the strength of the field is measured, and 14πε0\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_{0}} is Coulomb’s constant: 8.988 × 109 N⋅m2/C2.8.988\,\times \,{10}^{9}\,\text{N}\cdot {\text{m}}^{2}/{\text{C}}^{2}.

a. Use a graphing calculator to graph E(r)E(r) given that the charge of the particle is q=10−10.q={10}^{-10}. b. Evaluate lim⁡r→0+E(r).\lim_{r\to {0}^{+}}E(r). What is the physical meaning of this quantity? Is it physically relevant? Why are you evaluating from the right?

풀이 보기

r→0+r\to0^{+} 일 때 분모 r2r^2 이 00 에 가까워져 전체 값이 한없이 커져요.

  1. 1

    식을 간단히 해요. q=10−10q=10^{-10} 을 넣고 쿨롱 상수를 곱하면 E(r)=8.988×109⋅10−10r2=0.8988r2E(r)=\dfrac{8.988\times10^{9}\cdot10^{-10}}{r^2}=\dfrac{0.8988}{r^2} 이에요.

  2. 2

    (a) 그래프의 모양이에요. 거리 r>0r>0 일 때 rr 이 커지면 EE 는 00 에 가까워지고, rr 이 00 에 가까워지면 EE 는 한없이 커지는 곡선이에요. 식 자체는 r<0r<0 에서도 그려지지만(좌우대칭인 두 가닥), 거리는 음수가 될 수 없어서 물리적으로는 r>0r>0 쪽만 써요.

  3. 3

    (b) 극한을 구해요. r→0+r\to0^{+} 이면 r2→0+r^2\to0^{+} 이고 분자 0.89880.8988 은 양수이므로

    lim⁡r→0+0.8988r2=∞\lim_{r\to0^{+}}\frac{0.8988}{r^2}=\infty

  4. 4

    의미를 해석해요. 입자에 가까이 갈수록 전기장의 크기가 끝없이 커진다는 뜻이에요. 하지만 실제 입자는 크기가 있고 거리 00 까지 갈 수 없어서, 무한대가 되는 것은 점전하라는 이상화 때문에 생긴 값이고 현실의 값은 아니에요.

  5. 5

    왜 오른쪽에서 다가가는지 정리해요. 거리 rr 은 00 보다 큰 값만 가질 수 있어서 r<0r<0 쪽에서 다가가는 것은 의미가 없기 때문이에요.

답

(a) E(r)=0.8988r2E(r)=\dfrac{0.8988}{r^2} 의 그래프(그림 참조) (b) ∞\infty. 입자에 가까워질수록 전기장이 한없이 커진다는 뜻이며, 이상화된 점전하에서만 나오는 값이라 현실적인 값은 아니에요. 거리는 음수가 될 수 없어 오른쪽에서만 다가가요.

자주 하는 실수

극한이 ∞\infty 라는 것을 전기장이 실제로 무한대가 된다는 뜻으로 받아들여요.

원본 교재 풀이(영어)

a.

A graph of a function with two curves. The first is in quadrant two and curves asymptotically to infinity along the y axis and to 0 along the x axis as x goes to negative infinity. The second is in quadrant one and curves asymptotically to infinity along the y axis and to 0 along the x axis as x goes to infinity.

b. ∞. The magnitude of the electric field as you approach the particle q becomes infinite. It does not make physical sense to evaluate negative distance.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 2.2절 · 28번

다음 문제에서는 여기에 나온 함수 y=f(x)y=f(x) 의 그래프를 이용해 값을 구하세요. 구할 수 있다면 구하고, 필요하면 어림해 보세요.

x&lt;0 에서는 기울기가 −1 인 직선이고 (0,1) 에 빈 원이 있으며, 나머지는 꼭짓점 (0,−4) 에 색칠된 원이 있고 점 (2,0) 을 지나는 아래로 볼록한 포물선의 오른쪽 절반인 조각 함수의 그래프

lim⁡x→0f(x)\lim_{x\to 0}f(x)

다 풀었으면 정답 확인

극한이 존재하지 않는다 (DNE)

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