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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

평균변화율과 미분계수

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 3.1절 · 13번우리말 풀이

다음 함수에 대해

a. mtan⁡=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hm_{\tan}=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} 를 써서 접선의 기울기 mtan⁡=f′(a)m_{\tan}=f'(a) 를 구하세요. b. x=ax=a 에서 ff 의 접선의 방정식을 구하세요.

f(x)=x2+x, a=1f(x)=x^{2}+x,\ a=1

영어 원문 보기

For the following functions,

a. use mtan⁡=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h{m}_{\tan }=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} to find the slope of the tangent line mtan⁡=f′(a),{m}_{\tan }={f}^{'}(a), and b. find an equation of the tangent line to ff at x=a.x=a.

f(x)=x2+x,a=1f(x)={x}^{2}+x,a=1

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(a)
(b)
풀이 보기

미분계수는 정의대로 극한을 구하고, 접선은 점 (a,f(a))(a,f(a)) 와 그 기울기로 직선을 세워요.

  1. 1

    (a) 필요한 값을 준비해요. f(1)=12+1=2f(1)=1^2+1=2 이고 f(1+h)=(1+h)2+(1+h)=2+3h+h2f(1+h)=(1+h)^2+(1+h)=2+3h+h^2 이에요.

  2. 2

    차를 구해서 hh 로 나눠요.

    f(1+h)−f(1)h=3h+h2h=3+h\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{3h+h^2}{h}=3+h

  3. 3

    극한을 취해요. h→0h\to0 이면 3+h→33+h\to3 이므로 f′(1)=3f'(1)=3 이에요.

  4. 4

    (b) 접선을 세워요. 접점은 (1,2)(1,2), 기울기는 33 이므로 y−2=3(x−1)y-2=3(x-1) 이고 정리하면 y=3x−1y=3x-1 이에요.

답

(a) 33 (b) y=3x−1y=3x-1

자주 하는 실수

hh 로 나누기 전에 h→0h\to0 을 먼저 넣어 0/00/0 이 되어 막혀요. 먼저 식을 정리해 hh 를 약분해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

a. 33 b. y=3x−1y=3x-1

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.1절 · 29번

다음 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대해 f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−af'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} 를 이용해 f′(a)f'(a) 를 구하세요.

f(x)=1x3, a=1f(x)=\dfrac{1}{x^3},\ a=1

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−3-3

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