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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

접선의 방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 3.1절 · 17번우리말 풀이

다음 함수에 대해

a. mtan⁡=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hm_{\tan}=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} 를 이용해 접선의 기울기 mtan⁡=f′(a)m_{\tan}=f'(a) 를 구하고, b. x=ax=a 에서 ff 에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

f(x)=2−3x2, a=−2f(x)=2-3x^2,\ a=-2

영어 원문 보기

For the following functions,

a. use mtan⁡=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h{m}_{\tan }=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} to find the slope of the tangent line mtan⁡=f′(a),{m}_{\tan }={f}^{'}(a), and b. find an equation of the tangent line to ff at x=a.x=a.

f(x)=2−3x2,a=−2f(x)=2-3{x}^{2},a=-2

답 쓰고 채점
(a)
(b)
풀이 보기

미분계수의 정의 식에서 분자를 전개하면 hh 가 약분되고, 남은 식에 h→0h\to 0 을 넣어요.

  1. 1

    함숫값을 구해요. f(−2)=2−3⋅4=−10f(-2)=2-3\cdot 4=-10 이에요. 그리고 f(−2+h)=2−3(4−4h+h2)=−10+12h−3h2f(-2+h)=2-3(4-4h+h^2)=-10+12h-3h^2

  2. 2

    a: 정의 식을 계산해요. f(−2+h)−f(−2)h=12h−3h2h=12−3h\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\frac{12h-3h^2}{h}=12-3h 이제 h→0h\to 0 이면 12−3h→1212-3h\to 12 이므로 f′(−2)=12f'(-2)=12 예요.

  3. 3

    b: 접선의 방정식을 세워요. 접점은 (−2,−10)(-2,-10), 기울기는 1212 이므로 y+10=12(x+2) ⇒ y=12x+14y+10=12(x+2)\ \Rightarrow\ y=12x+14

답

a. 1212 b. y=12x+14y=12x+14

자주 하는 실수

(−2+h)2(-2+h)^2 를 전개할 때 4+h24+h^2 으로 가운데 항을 빠뜨리는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

a. 1212 b. y=12x+14y=12x+14

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.1절 · 3번우리말 번역

아래 함수들을 x=−2x=-2 에서 x=2x=2 까지의 할선의 기울기가 모두 같은 것끼리 묶으세요.

그림

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다 풀었으면 정답 확인

모든 경우에서 할선의 기울기는 f(2)−f(−2)2−(−2)=f(2)−f(−2)4\dfrac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)} = \dfrac{f(2)-f(-2)}{4} 이다. 따라서 두 직선의 기울기가 같다면 그 차 f(2)−f(−2)f(2)-f(-2) 의 값도 같다.

(a), (c), (e)의 그래프는 모두 f(2)−f(−2)=1f(2)-f(-2)=1 이므로 할선의 기울기가 모두 같다. (b)와 (f)의 그래프는 모두 f(2)−f(−2)=−1f(2)-f(-2)=-1 이므로 할선의 기울기가 서로 같다. (d)의 그래프는 f(2)−f(−2)=0f(2)-f(-2)=0 이고 이 성질을 가진 그래프는 (d)뿐이므로, 다른 그래프들과 할선의 기울기가 같지 않다.

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