평균변화율과 미분계수 연습문제 — OpenStax 1권 · 3.1절 · 25번

OpenStax 1권 · 3.1절 · 25번우리말 풀이

다음 함수 $y=f(x)$ 에 대해 $f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 써서 $f'(a)$ 를 구하세요.

$f(x)=\sqrt{x},\ a=4$

영어 원문 보기

For the following functions $y=f(x),$ find ${f}^{'}(a)$ using ${f}^{'}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .

$f(x)=\sqrt{x},a=4$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$\sqrt{x}-2$ 처럼 제곱근이 있는 분자는 켤레식 $\sqrt{x}+2$ 를 곱해서 $x-4$ 를 만들면 약분돼요.

1
식을 세워요. $f(4)=\sqrt4=2$ 이므로

$f'(4)=\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$

대입하면 $\dfrac00$ 꼴이라 식을 바꿔야 해요.
2
분자를 유리화해요. 분자와 분모에 $\sqrt{x}+2$ 를 곱하면 $(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4$ 가 돼요.

$\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}$
3
약분하고 극한을 구해요. $x\ne4$ 이므로 $x-4$ 를 약분하면 $\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}$ 이고, $x\to4$ 이면 $\dfrac{1}{2+2}=\dfrac14$ 이에요.

답

$\dfrac14$

자주 하는 실수

$\sqrt{x}-2$ 를 $\sqrt{x-4}$ 처럼 합쳐서 계산하거나, 켤레식을 분자에만 곱해요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{4}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.1절 · 13번

다음 함수에 대해

a. $m_{\tan}=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 를 써서 접선의 기울기 $m_{\tan}=f'(a)$ 를 구하세요. b. $x=a$ 에서 $f$ 의 접선의 방정식을 구하세요.

$f(x)=x^{2}+x,\ a=1$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

다 풀었으면 정답 확인

(a) $3$ (b) $y=3x-1$