빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

평균변화율과 미분계수

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 3.1절 · 37번우리말 풀이

[계산기 사용] 다음 위치함수 y=s(t)y=s(t) 로 직선 위를 움직이는 물체가 있어요. 여기서 tt 는 초, ss 는 미터 단위예요. 다음을 구하세요.

a. t=2t=2 에서 t=2+ht=2+h 까지의 평균속도를 간단히 나타낸 식 b. t=2t=2 와 t=2+ht=2+h 사이의 평균속도. 단, (i) h=0.1h=0.1, (ii) h=0.01h=0.01, (iii) h=0.001h=0.001, (iv) h=0.0001h=0.0001 c. a의 결과를 이용해 t=2t=2 초에서의 순간속도를 어림하기

s(t)=2t3+3s(t)=2t^3+3

영어 원문 보기

[T] For the following position functions y=s(t),y=s(t), an object is moving along a straight line, where tt is in seconds and ss is in meters. Find

a. the simplified expression for the average velocity from t=2t=2 to t=2+h;t=2+h; b. the average velocity between t=2t=2 and t=2+h,t=2+h, where (i) h=0.1,\text{(i)}\,h=0.1, (ii) h=0.01,\text{(ii)}\,h=0.01, (iii) h=0.001,\text{(iii)}\,h=0.001, and (iv) h=0.0001;\text{(iv)}\,h=0.0001; and c. use the answer from a. to estimate the instantaneous velocity at t=2t=2 second.

s(t)=2t3+3s(t)=2{t}^{3}+3

풀이 보기

평균속도는 (위치의 변화량)÷(걸린 시간)이고, 시간 간격 hh 를 0에 가깝게 하면 순간속도(미분계수)에 가까워져요.

  1. 1

    평균속도의 식을 세워요. 평균속도는 위치가 얼마나 변했는지를 걸린 시간으로 나눈 값이에요. t=2t=2 에서 t=2+ht=2+h 까지 걸린 시간은 hh 이므로 s(2+h)−s(2)h\frac{s(2+h)-s(2)}{h} 를 계산하면 돼요. 먼저 s(2)=2⋅23+3=19s(2)=2\cdot 2^3+3=19 예요.

  2. 2

    s(2+h)s(2+h) 를 전개해요. (2+h)3=8+12h+6h2+h3(2+h)^3=8+12h+6h^2+h^3 이므로 s(2+h)=2(8+12h+6h2+h3)+3=19+24h+12h2+2h3s(2+h)=2(8+12h+6h^2+h^3)+3=19+24h+12h^2+2h^3 예요. 그러면 s(2+h)−s(2)=24h+12h2+2h3s(2+h)-s(2)=24h+12h^2+2h^3 이에요.

  3. 3

    hh 로 나누어 간단히 해요. 분자의 모든 항에 hh 가 들어 있으니 약분할 수 있어요. 24h+12h2+2h3h=24+12h+2h2=2(h2+6h+12)\frac{24h+12h^2+2h^3}{h}=24+12h+2h^2=2(h^2+6h+12) 이것이 a의 답이에요.

  4. 4

    b: hh 값을 차례로 넣어요. 2(h2+6h+12)2(h^2+6h+12) 에 대입하면

    • h=0.1h=0.1: 2(0.01+0.6+12)=25.222(0.01+0.6+12)=25.22 (m/s)
    • h=0.01h=0.01: 2(0.0001+0.06+12)=24.1202≈24.122(0.0001+0.06+12)=24.1202\approx 24.12 (m/s)
    • h=0.001h=0.001: 24.012≈24.0124.012\approx 24.01 (m/s)
    • h=0.0001h=0.0001: 24.0012≈24.0024.0012\approx 24.00 (m/s)
  5. 5

    c: 값이 어디로 다가가는지 봐요. hh 가 작아질수록 평균속도가 2424 에 가까워져요. 식으로도 h→0h\to 0 이면 2(h2+6h+12)→2⋅12=242(h^2+6h+12)\to 2\cdot 12=24 예요. 그러므로 t=2t=2 초의 순간속도는 2424 m/s 예요.

답

a. 2(h2+6h+12)2(h^2+6h+12) b. (i) 25.2225.22 m/s (ii) 24.1224.12 m/s (iii) 24.0124.01 m/s (iv) 2424 m/s c. 2424 m/s

자주 하는 실수

(2+h)3(2+h)^3 을 8+h38+h^3 으로 잘못 전개하는 실수가 많아요. 12h+6h212h+6h^2 항을 꼭 챙기세요.

원본 교재 풀이(영어)

a. 2(h2+6h+12);2({h}^{2}+6h+12); b. (i) 25.22\text{(i)}\,25.22 m/s, (ii) 24.12\text{(ii)}\,24.12 m/s, (iii) 24.01\text{(iii)}\,24.01 m/s, (iv) 24\text{(iv)}\,24 m/s; c. 2424 m/s

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.1절 · 25번

다음 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대해 f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−af'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} 를 써서 f′(a)f'(a) 를 구하세요.

f(x)=x, a=4f(x)=\sqrt{x},\ a=4

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

14\dfrac14

자세한 풀이 보고 이어서 풀기
# 평균변화율과 미분계수활용보통

「평균변화율과 미분계수」 문제 목록으로