평균변화율과 미분계수 연습문제 — OpenStax 1권 · 3.1절 · 45번

OpenStax 1권 · 3.1절 · 45번우리말 번역

[계산기 사용] 직선 트랙을 달리는 경주용 자동차의 $t$ 초 후 위치(단위: 피트)가 함수 $s(t)=8{t}^{2}-\frac{1}{16}{t}^{3}$ 으로 모델링된다.

a. 다음 각 시간 구간에서 자동차의 평균 속도를 소수 넷째 자리까지 구하세요. ⅰ. [4, 4.1] ⅱ. [4, 4.01] ⅲ. [4, 4.001] ⅳ. [4, 4.0001] b. a.의 결과를 이용하여 $t=4$ 초일 때 자동차의 순간 속도에 대한 결론을 내리세요.

영어 원문 보기

[T] The position in feet of a race car along a straight track after $t$ seconds is modeled by the function $s(t)=8{t}^{2}-\frac{1}{16}{t}^{3}.$

a. Find the average velocity of the vehicle over the following time intervals to four decimal places: i. [4, 4.1] ii. [4, 4.01] iii. [4, 4.001] iv. [4, 4.0001] b. Use a. to draw a conclusion about the instantaneous velocity of the vehicle at $t=4$ seconds.

정답·풀이 보기

a. $\text{(i)}\,61.7244$ ft/s, $\text{(ii)}\,61.0725$ ft/s $\text{(iii)}\,61.0072$ ft/s $\text{(iv)}\,61.0007$ ft/s b. $4$ 초일 때 경주용 자동차는 $61$ ft/s의 속도로 달리고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $\text{(i)}\,61.7244$ ft/s, $\text{(ii)}\,61.0725$ ft/s $\text{(iii)}\,61.0072$ ft/s $\text{(iv)}\,61.0007$ ft/s b. At $4$ seconds the race car is traveling at a rate/velocity of $61$ ft/s.

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 1.1절 · 11번우리말 번역

미국 인구 조사에 따르면 미시간주 그랜드래피즈시의 인구는 1980년에 181,843명, 1990년에 189,126명, 2000년에 197,800명이었다.

(a) 1980년부터 2000년까지 그랜드래피즈의 인구는 몇 명 늘었는지 구하세요. (b) 1980년부터 2000년까지 평균적으로 1년 동안 그랜드래피즈의 인구는 몇 명 늘었는지 구하세요. (c) 위치의 변화량을 시간의 변화량으로 나누어 움직이는 물체의 평균 속도를 구할 수 있는 것과 마찬가지로, 임의의 함수 $f$ 의 평균변화율도 구할 수 있다. 구체적으로, 구간 $[a,b]$ 에서 함수 $f$ 의 평균변화율은 다음 몫이다. $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,.$ 구간 $[a,b]$ 에서 $y = f(x)$ 의 그래프 위의 어떤 값을 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 가 나타내는지 설명하세요. (d) $P(t)$ 는 시각 $t$ 에서 그랜드래피즈의 인구를 나타내고, $t$ 는 1980년 1월 1일부터 지난 햇수라고 하자. 구간 $t = 0$ 부터 $t = 20$ 까지에서 $P$ 의 평균변화율을 구하세요. 이 값의 단위는 무엇인지 구하세요. (e) 그랜드래피즈의 인구가 10년마다 약 4%의 비율로 증가한다고 가정하면, 인구 함수를 다음 식으로 나타낼 수 있다. $P(t) = 181843 (1.04)^{t/10}\,.$ 이 식을 이용하여 구간 $[5,10]$ , $[5,9]$ , $[5,8]$ , $[5,7]$ , $[5,6]$ 에서 인구의 평균변화율을 구하세요. (f) 1985년 1월 1일에 그랜드래피즈의 인구는 얼마나 빠르게 변하고 있었다고 생각하나요? 다시 말해, 1985년 1월 1일 현재 그랜드래피즈의 인구에 사람들이 어느 정도의 비율로 더해지고 있었다고 생각하나요? 그다음 1년 동안 이 도시는 몇 명이 더 늘어날 것으로 예상해야 하나요? 그 이유는 무엇인가요?

다 풀었으면 정답 확인

(a) 인구의 변화량은 $P(2000) - P(1980) = 197 800 - 181 843 = 15 957$ 명이다. (b) 1980년부터 2000년까지 20년 동안 그랜드래피즈에 $15 957$ 명이 늘었으므로, 평균적으로 1년 동안 인구는 $\frac{15,957}{20} \approx 798$ 명/년 늘었다. (c) $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{\Delta f}{\Delta x}$ 는 두 점 $(a,f(a))$ 와 $(b,f(b))$ 를 지나는 할선의 기울기를 나타낸다. (d) $AV_{[0,20]}=\frac{P(20)-P(0)}{20-0}=\frac{197 800 - 181 843}{20}=\frac{15 957}{20} \approx 798$ 명/년이다. (e) $\begin{aligned}AV_{[5,10]} &=\frac{P(10) - P(5)}{10-5} = \frac{189 116.72 - 185 444.20}{10-5} \approx 734.50 \\ AV_{[5,9]} &= \frac{188 376.44 - 185 444.20}{9-5} \approx 733.06 \\ AV_{[5,8]} &= \frac{187 639.06 - 185,444.20}{8-5} \approx 731.62 \\ AV_{[5,7]} &= \frac{186 904.57 - 185,444.20}{7-5} \approx 730.19 \\ AV_{[5,6]} &= \frac{186 172.95 - 185,444.20}{6-5} \approx 728.7535\end{aligned}$ 이 값들의 단위는 각각 “명/년”이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 평균변화율과 미분계수활용자동 분류