도함수의 뜻

(a) 정의에 의하여 $$\begin{aligned}g'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - (x+h) + 3 - (x^2 - x + 3)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x-h + 3 - x^2 + x - 3}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2 - h}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h - 1)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} (2x + h - 1) \\ &= 2x - 1\end{aligned}\,.$$ (b) 위 그림에는 $g$ 와 $g'$ 의 그래프가 함께 그려져 있다. 점 $(0.5, 2.75)$ 는 이차함수 $g$ 의 꼭짓점이고, 이 점에서 $g(x)$ 의 접선의 기울기는 0 이다. 이는 $y=g'(x)$ 가 $x$축과 만나는 점 $(0.5, 0)$ 과 일치한다. 또한 $x < 0.5$ 일 때 $g'(x)$ 는 음수인데, 이는 $g$ 가 감소하고 접선의 기울기가 음수인 구간에 해당한다. 마찬가지로 $x > 0.5$ 일 때 $g'$ 의 값은 양수이며, 이는 원래 함수 $g$ 에서 볼 수 있는 기울기의 값과 일치한다. (c) 정의에 의하여 $$\begin{aligned}p'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{p(x+h)-p(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{5(x+h)^2 - 4(x+h) + 12 - (5x^2 - 4x + 12)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{5x^2 + 10xh + 5h^2 - 4x-4h + 12 - 5x^2 + 4x - 12}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{10xh + 5h^2 - 4h}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{h(10x + 5h - 4)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} (10x + 5h - 4) \\ &= 10x - 4\end{aligned}\,.$$ (d) $g(x) = x^2 - x + 3$ 에 대하여 $g'(x) = 2x - 1$ 임을 구하였다. $p(x) = 5x^2 - 4x + 12$ 에 대하여 $p'(x) = 10x - 4$ 임을 구하였다. 상수 $3$ 과 $12$ 는 결과에 전혀 영향을 주지 않는 것으로 보이는데, 이 수들은 $g$ 와 $p$ 의 그래프를 세로 방향으로 평행이동할 뿐 기울기는 전혀 바꾸지 않으므로 타당하다. $p(x)$ 의 일차항의 계수 $-4$ 는 $p'(x)= 10x - 4$ 에서 “$-4$”로 나타나는 것으로 보인다. 이 또한, 일차함수 $L(x) = -4x$ 만 생각하면 기울기가 어디서나 $-4$ 라는 사실에 비추어 타당하다. 이는 $g(x) = x^2 - x + 3$ 의 일차항의 계수 $-1$ 이 $g'(x) = 2x - 1$ 에서 상수 $-1$ 로 나타나는 것과 대비된다. 마지막으로, $(x) = 5x^2 - 4x + 12$ 의 최고차항의 계수 $5$ 는 $p'(x) = 10x -4$ 에서 계수 “$10$”이 되게 한다. 이는 $y = 5x^2$ 만 생각하면 $5$ 때문에 그래프가 $y = x^2$ 의 그래프보다 $5$배 가파르게 되어 도함수에도 그만큼 비례하여 영향을 주기 때문이다.