삼각함수의 미분

함수 $f(x)$ 가 $x=0$ 에서 연속이려면 왼쪽 부분의 식 $ax+b$ 와 오른쪽 부분의 식 $\dfrac{6\cos x}{2+\sin x+\cos x}$ 가 $x=0$ 에서 서로 같아야 한다. 따라서 $$a\times 0+b=\frac{6\cos 0}{2+\sin 0+\cos 0}=\frac{6}{3} \implies \boxed{b=2}$$

$x=0$ 에서 미분계수 $f'(x)$ 가 존재하려면 극한 $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)-f(0)}{h}$ 가 존재해야 한다. 특히 극한 $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^-} \dfrac{f(h)-f(0)}{h}$ 와 $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^+} \dfrac{f(h)-f(0)}{h}$ 가 존재하고 서로 같아야 한다.

$h \to 0^-$ 일 때 $h<0$ 이므로 $f(h)=ah+b=ah+2$ 이다. 따라서 $$\displaystyle \lim_{h\to 0^-}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\displaystyle \lim_{h\to 0^-}\dfrac{(ah+2)-2}{h}=\left.\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ax+2\right\}\right|_{x=0}=a.$$

마찬가지로 $h \to 0^+$ 일 때 $h>0$ 이므로 $f(h)=\dfrac{6\cos h}{1+\sin h + \cos h}$ 이고 $$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^+} \dfrac{f(h)-f(0)}{h} &= \left.\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\dfrac{6\cos x}{2+\sin x + \cos x}\right\}\right|_{x=0} \\&=\left.\frac{-6\sin x(2+\sin x+\cos x)-6\cos x(\cos x-\sin x)}{(2+\sin x+\cos x)^2}\right|_{x=0}.\end{aligned}$$

왼쪽 극한과 오른쪽 극한이 같아야 하므로 $$a=\frac{-6\sin 0(2+\sin 0+\cos 0)-6\cos 0(\cos 0-\sin 0)}{(2+\sin 0+\cos 0)^2} =\frac{-6}{(2+1)^2}\implies\boxed{a=-\frac{2}{3}}$$