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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

삼각함수의 미분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 3.5절 · 25번우리말 풀이

f(x)=cot⁡xf(x)=\cot x 라 하자. 0<x<2π0<x<2\pi 에서 접선이 직선 y=−2xy=-2x 와 평행한 점들을 그래프 위에서 구하세요.

영어 원문 보기

Let f(x)=cot⁡x.f(x)=\cot x. Determine the points on the graph of ff for 0<x<2π0<x<2\pi where the tangent line(s) is (are) parallel to the line y=−2x.y=-2x.

답 쓰고 채점
풀이 보기

평행한 직선은 기울기가 같으므로 f′(x)=−2f'(x)=-2 를 만족하는 xx 를 찾아요.

  1. 1

    직선 y=−2xy=-2x 의 기울기는 −2-2 예요. 평행한 접선도 기울기가 −2-2 이므로 f′(x)=−2f'(x)=-2 인 xx 를 구하면 돼요.

  2. 2

    f′(x)=−csc⁡2xf'(x)=-\csc^2x 이므로

    −csc⁡2x=−2 ⟹ csc⁡2x=2 ⟹ sin⁡2x=12-\csc^2x=-2\ \Longrightarrow\ \csc^2x=2\ \Longrightarrow\ \sin^2x=\frac12

  3. 3

    sin⁡x=±22\sin x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2} 이고 0<x<2π0<x<2\pi 이므로 x=π4, 3π4, 5π4, 7π4x=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{3\pi}{4},\ \dfrac{5\pi}{4},\ \dfrac{7\pi}{4} 네 개예요.

  4. 4

    각 xx 에 대한 f(x)=cot⁡xf(x)=\cot x 의 값을 구해 점을 완성해요.

    cot⁡π4=1, cot⁡3π4=−1, cot⁡5π4=1, cot⁡7π4=−1\cot\frac{\pi}{4}=1,\ \cot\frac{3\pi}{4}=-1,\ \cot\frac{5\pi}{4}=1,\ \cot\frac{7\pi}{4}=-1

답

(π4,1), (3π4,−1), (5π4,1), (7π4,−1)\left(\frac{\pi}{4},1\right),\ \left(\frac{3\pi}{4},-1\right),\ \left(\frac{5\pi}{4},1\right),\ \left(\frac{7\pi}{4},-1\right)

자주 하는 실수

sin⁡x=22\sin x=\frac{\sqrt2}{2} 인 경우만 구하고 sin⁡x=−22\sin x=-\frac{\sqrt2}{2} 인 경우를 빠뜨려요.

원본 교재 풀이(영어)

(π4,1),(3π4,−1),(5π4,1),(7π4,−1)\left(\frac{\pi }{4}, 1\right), \left(\frac{3\pi }{4}, -1\right), \left(\frac{5\pi }{4}, 1\right), \left(\frac{7\pi }{4}, -1\right)

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.5절 · 17번

다음 함수에 대하여 d2ydx2\frac{d^{2}y}{dx^{2}} 를 구하세요.

y=xsin⁡x−cos⁡xy=x\sin x-\cos x

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

d2ydx2=3cos⁡x−xsin⁡x\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=3\cos x-x\sin x

자세한 풀이 보고 이어서 풀기
# 삼각함수의 미분계산보통

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