삼각함수의 미분 연습문제 — OpenStax 1권 · 3.5절 · 9번

OpenStax 1권 · 3.5절 · 9번우리말 풀이

다음 함수에 대하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$y=\frac{1-\cot x}{1+\cot x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{dy}{dx}$ for the given functions.

$y=\frac{1-\cot x}{1+\cot x}$

풀이 보기

분수식이므로 몫의 미분법 $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ 을 쓰고, $(\cot x)'=-\csc^2x$ 를 이용해요.

1
분자 $u=1-\cot x$ , 분모 $v=1+\cot x$ 로 놓아요. $(\cot x)'=-\csc^2x$ 이므로

$u'=\csc^2x,\qquad v'=-\csc^2x$
2
몫의 미분법에 넣어요.

$\frac{dy}{dx}=\frac{\csc^2x(1+\cot x)-(1-\cot x)(-\csc^2x)}{(1+\cot x)^2}$
3
분자에서 $\csc^2x$ 로 묶고 정리해요.

$\csc^2x\big[(1+\cot x)+(1-\cot x)\big]=2\csc^2x$

따라서

$\frac{dy}{dx}=\frac{2\csc^2x}{(1+\cot x)^2}$

답

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\csc^{2}x}{(1+\cot x)^{2}}$

자주 하는 실수

$(\cot x)'$ 의 부호 $-$ 를 빠뜨리거나, 몫의 미분법에서 분자의 빼는 순서를 바꿔요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{dy}{dx}=\frac{2{\csc }^{2}x}{{(1+\cot x)}^{2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.5절 · 1번

다음 함수에 대하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$y={x}^{2}-\sec x+1$

다 풀었으면 정답 확인

$\dfrac{dy}{dx}=2x-\sec x\tan x$