합성함수의 미분법 연습문제 — OpenStax 1권 · 3.6절 · 44번

OpenStax 1권 · 3.6절 · 44번우리말 번역

[계산기 사용] 구의 부피를 구하는 공식은 $S=\frac{4}{3}\pi {r}^{3}$ 이며, 여기서 $r$ (피트)은 구의 반지름입니다. 구 모양의 눈덩이가 햇볕에 녹고 있다고 합시다.

a. $r=\frac{1}{{(t+1)}^{2}}-\frac{1}{12}$ 이라 하고, 여기서 $t$ 는 분 단위의 시간입니다. 연쇄 법칙 $\frac{dS}{dt}=\frac{dS}{dr}\cdot \frac{dr}{dt}$ 를 이용하여 눈덩이가 녹는 비율을 구하세요. b. a를 이용하여 $t=1$ 분일 때 부피가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The formula for the volume of a sphere is $S=\frac{4}{3}\pi {r}^{3},$ where $r$ (in feet) is the radius of the sphere. Suppose a spherical snowball is melting in the sun.

a. Suppose $r=\frac{1}{{(t+1)}^{2}}-\frac{1}{12}$ where $t$ is time in minutes. Use the chain rule $\frac{dS}{dt}=\frac{dS}{dr}\cdot \frac{dr}{dt}$ to find the rate at which the snowball is melting. b. Use a. to find the rate at which the volume is changing at $t=1$ min.

정답·풀이 보기

a. $\frac{dS}{dt}=-\frac{8\pi {r}^{2}}{{(t+1)}^{3}}$ b. 부피는 $-\frac{\pi }{36}$ ft³/min 의 비율로 감소하고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $\frac{dS}{dt}=-\frac{8\pi {r}^{2}}{{(t+1)}^{3}}$ b. The volume is decreasing at a rate of $-\frac{\pi }{36}$ ft³/min.

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 2.5절 · 12번우리말 번역

$u(x)$ 를 미분가능한 함수라 하자. 다음 각 함수에 대해 도함수를 구하세요. 각 답에는 $u$ 및/또는 $u'$ 이 포함됩니다.

(a) $p(x) = e^{u(x)}$ (b) $q(x) = u(e^x)$ (c) $r(x) = \cot(u(x))$ (d) $s(x) = u(\cot(x))$ (e) $a(x) = u(x^4)$ (f) $b(x) = (u(x))^4$

다 풀었으면 정답 확인

(a) 연쇄 법칙에 의해 $p'(x) = e^{u(x)} \cdot u'(x)$ 이다. (b) 연쇄 법칙에 의해 $q'(x) = u'(e^x) \cdot e^x$ 이다. (c) 연쇄 법칙에 의해 $r'(x) = -\csc^2(u(x) \cdot u'(x)$ 이다. (d) 연쇄 법칙에 의해 $s'(x) = u'(\cot(x)) \cdot (-\csc^2(x))$ 이다. (e) 연쇄 법칙에 의해 $a'(x) = u'(x^4) \cdot 4x^3$ 이다. (f) 연쇄 법칙에 의해 $b'(x) = 4(u(x))^3 \cdot u'(x)$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 합성함수의 미분법활용자동 분류